a) Chứng minh với mọi số nguyên dương $n$, số $n^{5} - 6n + 33$ không là số chính phương.b) Cho

Câu hỏi số 798335:

Vận dụng

a) Chứng minh với mọi số nguyên dương $n$, số $n^{5} - 6n + 33$ không là số chính phương.
b) Cho các số nguyên dương $a,b$ thỏa mãn điều kiện $a + b + 1$ là ước nguyên tố của $4\left( {a^{2} + ab + b^{2}} \right) - 3$. Chứng minh rằng $a + b - 1$ là ước của $4\left( {a^{2} + ab + b^{2}} \right) - 3$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:798335

Phương pháp giải

a) Có $n^{5} - 6n + 33 = \left( {n^{5} - n} \right) - 5n + 33$

Theo định lí Fermat có $n^{5} \equiv n\left( {\text{mod}5} \right)$ nên $\left( {n^{5} - n} \right) \equiv 0\left( {\text{mod}5} \right)$

b) Theo giả thiết có
$0 \equiv 4a^{2} + 4ab + 4b^{2} - 3 \equiv 4a^{2} + 4a\left( {- a - 1} \right) + 4{( - a - 1)}^{2} - 3\left( {\text{mod}a + b + 1} \right)$

hay ${(2a + 1)}^{2} \equiv 0\left( {\text{mod}a + b + 1} \right)$.

Giải chi tiết

a) Có $n^{5} - 6n + 33 = \left( {n^{5} - n} \right) - 5n + 33$

Theo định lí Fermat có $n^{5} \equiv n\left( {\text{mod}5} \right)$ nên $\left( {n^{5} - n} \right) \equiv 0\left( {\text{mod}5} \right)$
Do $5n \equiv 0,33 \equiv 3\left( {\text{mod}5} \right)$ nên suy ra $n^{5} - 6n + 33 \equiv 3\left( {\text{mod}5} \right)\left( \text{*} \right)$.

Một số chính phương khi chia cho 5 chỉ có thể cho số dư thuộc $\left\{ {0;1;4} \right\}$.

Vậy từ (*) suy ra $n^{5} - 6n + 33$ không thể là số chính phương.

b) Theo giả thiết có
$0 \equiv 4a^{2} + 4ab + 4b^{2} - 3 \equiv 4a^{2} + 4a\left( {- a - 1} \right) + 4{( - a - 1)}^{2} - 3\left( {\text{mod}a + b + 1} \right)$

hay ${(2a + 1)}^{2} \equiv 0\left( {\text{mod}a + b + 1} \right)$.
Từ $a + b + 1$ là số nguyên tố suy ra $\left( {2a + 1} \right):\left( {a + b + 1} \right)$.

Ta có $0 < 2a + 1 < 2\left( {a + b + 1} \right)$ nên xảy ra $\left. a + b + 1 = 2a + 1\Leftrightarrow a = b \right.$.
Khi đó có $\left\{ \begin{array}{l} {a + b - 1 = 2a - 1} \\ {4\left( {a^{2} + ab + b^{2}} \right) - 3 = 12a^{2} - 3 = 3\left( {2a + 1} \right)\left( {2a - 1} \right)} \end{array} \right.$,

suy ra $\left( {4\left( {a^{2} + ab + b^{2}} \right) - 3} \right) \vdots \left( {a + b - 1} \right)$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link