Cho tam giác $ABC(AB < AC < BC)$ ngoại tiếp đường tròn $(I)$ với các tiếp điểm trên $BC,CA,AB$
Cho tam giác $ABC(AB < AC < BC)$ ngoại tiếp đường tròn $(I)$ với các tiếp điểm trên $BC,CA,AB$ lần lượt là $D,E,F$. Gọi $G$ và $H$ lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ $B$ và $C$ xuống $CI$ và $BI$. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác $BGED$ là hình thang.
b) Tứ giác $BGFD$ nội tiếp.
c) Các điểm $E,F,G,H$ thẳng hàng.
Quảng cáo
a) Chứng minh $BG//DE$, do đó tứ giác $BGED$ là hình thang.
b) Do $AB < AC < BC$ nên $\angle ACB < \angle ABC < \angle BAC$.
Chứng minh tia $BF$ nằm giữa hai tia $BE$ và $BG$.
Tương tự ta cũng chứng minh được tia $CE$ nằm giữa hai tia $CF$ và CH.
c) $BGFD$ là tứ giác nội tiếp (cmt) suy ra $\angle GFD + \angle GBD = 180^{\circ}$ (3).
Lại có $\angle EFD = \angle EDC$ vì cùng chắn cung ED của đường tròn (I) (4).
Chứng minh $\angle GBD = \angle EDC(5)$.
Từ (3), (4) và (5) suy ra $\angle GFD + \angle EFD = 180^{\circ}$ hay $G,F,E$ thẳng hàng.
Tương tự $H,E,F$ thẳng hàng, suy ra đpcm.
a) $BGED$ là hình thang
Ta có: $BG\bot IC$ (gt) và $IC\bot DE$ (tính chất tiếp tuyến)
Suy ra $BG//DE$, do đó tứ giác $BGED$ là hình thang.
b) Tứ giác $BGFD$ nội tiếp
Do $AB < AC < BC$ nên $\angle ACB < \angle ABC < \angle BAC$.
Do $\dfrac{\angle ACB}{2} + \angle ABC < \dfrac{\angle ACB + \angle ABC + \angle BAC}{2} = 90^{\circ}$ nên tia $BF$ nằm giữa hai tia $BE$ và $BG$.
Tương tự ta cũng chứng minh được tia $CE$ nằm giữa hai tia $CF$ và CH.
Ta có $\left. \angle BGI = \angle BDI = 90^{\circ}\Rightarrow BGID \right.$ nội tiếp đường tròn đường kính $BI(1)$.
Ta có $\angle BFI = 90^{\circ}$, suy ra $F$ nằm trên đường tròn đường kính $BI$ (2).
Từ (1) và (2) suy ra $B,G,F,I,D$ cùng nằm trên đường tròn đường kính $BI$ hay $BGFD$ là tứ giác nội tiếp.
c) Các điểm $E,F,G,H$ thẳng hàng
$BGFD$ là tứ giác nội tiếp (cmt) suy ra $\angle GFD + \angle GBD = 180^{\circ}$ (3).
Lại có $\angle EFD = \angle EDC$ vì cùng chắn cung ED của đường tròn (I) (4).
Hon nữa, do $BG//ED\left( \text{cmt} \right)$ nên $\angle GBD = \angle EDC(5)$.
Từ (3), (4) và (5) suy ra $\angle GFD + \angle EFD = 180^{\circ}$ hay $G,F,E$ thẳng hàng.
Tương tự $H,E,F$ thẳng hàng, suy ra đpcm.
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
