a) Biết $x = \sqrt{2} + 1$, tính $A = \sqrt{\sqrt{2}\left( {x + 1} \right)\left( {x^{2} + 1} \right)\left( {x^{4} +

Câu hỏi số 798337:

Vận dụng

a) Biết $x = \sqrt{2} + 1$, tính $A = \sqrt{\sqrt{2}\left( {x + 1} \right)\left( {x^{2} + 1} \right)\left( {x^{4} + 1} \right) + x - \sqrt{2}}$.
b) Rút gọn biểu thức: $B = \dfrac{2\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{4} + \sqrt{5} + \sqrt{6} + \sqrt{8} + \sqrt{9} + \sqrt{10}}{\sqrt{1} + \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{4} + \sqrt{5}}$.
c) Cho biết $\left( {x + \sqrt{x^{2} + 1}} \right)\left( {y + \sqrt{y^{2} + 1}} \right) = 1,\forall x,y \in {\mathbb{R}}$. Tính $x + y$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:798337

Phương pháp giải

a) Từ $\left. x = \sqrt{2} + 1\Leftrightarrow x - \sqrt{2} = 1\Leftrightarrow x - 1 = \sqrt{2} \right.$.
b) Nhóm, rút gọn

c) Do $\left( {\sqrt{y^{2} + 1} + y} \right)\left( {\sqrt{y^{2} + 1} - y} \right) = 1$ nên $\sqrt{y^{2} + 1} - y \neq 0$, ta có

$x + \sqrt{x^{2} + 1} = \dfrac{1}{y + \sqrt{y^{2} + 1}} \cdot \dfrac{y - \sqrt{y^{2} + 1}}{y - \sqrt{y^{2} + 1}} = \sqrt{y^{2} + 1} - y$

$\left. ~\Leftrightarrow x + y = \sqrt{y^{2} + 1} - \sqrt{x^{2} + 1} \right.$

Giải chi tiết

a) Biết $x = \sqrt{2} + 1$, tính $A = \sqrt{\sqrt{2}\left( {x + 1} \right)\left( {x^{2} + 1} \right)\left( {x^{4} + 1} \right) + x - \sqrt{2}}$.

Từ $\left. x = \sqrt{2} + 1\Leftrightarrow x - \sqrt{2} = 1\Leftrightarrow x - 1 = \sqrt{2} \right.$. Áp dụng kết quả này ta có:

$~A = \sqrt{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x^{2} + 1} \right)\left( {x^{4} + 1} \right) + 1}$

$~ = \sqrt{\left( {x^{2} - 1} \right)\left( {x^{2} + 1} \right)\left( {x^{4} + 1} \right) + 1}$

$~ = \sqrt{\left( {x^{4} - 1} \right)\left( {x^{4} + 1} \right) + 1} = \sqrt{x^{8} - 1 + 1} = \sqrt{x^{8}} = x^{4} = {(\sqrt{2} + 1)}^{4}$

Lưu ý: Có thể thí sinh tính ra kết quả tương đương: $A = 17 + 12\sqrt{2}$.
b) Rút gọn biểu thức: $B = \dfrac{2\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{4} + \sqrt{5} + \sqrt{6} + \sqrt{8} + \sqrt{9} + \sqrt{10}}{\sqrt{1} + \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{4} + \sqrt{5}}$

Ta có $~B = \dfrac{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{4} + \sqrt{5} + \left( {\sqrt{2} + \sqrt{6} + \sqrt{8} + 2 + \sqrt{10}} \right)}{\sqrt{1} + \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{4} + \sqrt{5}}$

$~ = 1 + \dfrac{\sqrt{2} + 2 + \sqrt{6} + \sqrt{8} + \sqrt{10}}{\sqrt{1} + \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{4} + \sqrt{5}}$

$~ = 1 + \dfrac{\sqrt{2}\left( {1 + \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{4} + \sqrt{5}} \right)}{\sqrt{1} + \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{4} + \sqrt{5}} = 1 + \sqrt{2}$

c) Cho biết $\left( {x + \sqrt{x^{2} + 1}} \right)\left( {y + \sqrt{y^{2} + 1}} \right) = 1,\forall x,y \in {\mathbb{R}}$. Tính $x + y$.

Do $\left( {\sqrt{y^{2} + 1} + y} \right)\left( {\sqrt{y^{2} + 1} - y} \right) = 1$ nên $\sqrt{y^{2} + 1} - y \neq 0$, ta có

$x + \sqrt{x^{2} + 1} = \dfrac{1}{y + \sqrt{y^{2} + 1}} \cdot \dfrac{y - \sqrt{y^{2} + 1}}{y - \sqrt{y^{2} + 1}} = \sqrt{y^{2} + 1} - y$

$\left. ~\Leftrightarrow x + y = \sqrt{y^{2} + 1} - \sqrt{x^{2} + 1} \right.$

Tương tự: $\left. y + \sqrt{y^{2} + 1} = \sqrt{x^{2} + 1} - x\Leftrightarrow x + y = \sqrt{x^{2} + 1} - \sqrt{y^{2} + 1} \right.$
Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được $x + y = 0$.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link