a) Biết $x = \sqrt{2} + 1$, tính $A = \sqrt{\sqrt{2}\left( {x + 1} \right)\left( {x^{2} + 1} \right)\left( {x^{4} +

Câu hỏi số 798337:

Vận dụng

a) Biết $x = \sqrt{2} + 1$, tính $A = \sqrt{\sqrt{2}\left( {x + 1} \right)\left( {x^{2} + 1} \right)\left( {x^{4} + 1} \right) + x - \sqrt{2}}$.
b) Rút gọn biểu thức: $B = \dfrac{2\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{4} + \sqrt{5} + \sqrt{6} + \sqrt{8} + \sqrt{9} + \sqrt{10}}{\sqrt{1} + \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{4} + \sqrt{5}}$.
c) Cho biết $\left( {x + \sqrt{x^{2} + 1}} \right)\left( {y + \sqrt{y^{2} + 1}} \right) = 1,\forall x,y \in {\mathbb{R}}$. Tính $x + y$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:798337

Phương pháp giải

a) Từ $\left. x = \sqrt{2} + 1\Leftrightarrow x - \sqrt{2} = 1\Leftrightarrow x - 1 = \sqrt{2} \right.$.
b) Nhóm, rút gọn

c) Do $\left( {\sqrt{y^{2} + 1} + y} \right)\left( {\sqrt{y^{2} + 1} - y} \right) = 1$ nên $\sqrt{y^{2} + 1} - y \neq 0$, ta có

$x + \sqrt{x^{2} + 1} = \dfrac{1}{y + \sqrt{y^{2} + 1}} \cdot \dfrac{y - \sqrt{y^{2} + 1}}{y - \sqrt{y^{2} + 1}} = \sqrt{y^{2} + 1} - y$

$\left. ~\Leftrightarrow x + y = \sqrt{y^{2} + 1} - \sqrt{x^{2} + 1} \right.$

Giải chi tiết

a) Biết $x = \sqrt{2} + 1$, tính $A = \sqrt{\sqrt{2}\left( {x + 1} \right)\left( {x^{2} + 1} \right)\left( {x^{4} + 1} \right) + x - \sqrt{2}}$.

Từ $\left. x = \sqrt{2} + 1\Leftrightarrow x - \sqrt{2} = 1\Leftrightarrow x - 1 = \sqrt{2} \right.$. Áp dụng kết quả này ta có:

$~A = \sqrt{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x^{2} + 1} \right)\left( {x^{4} + 1} \right) + 1}$

$~ = \sqrt{\left( {x^{2} - 1} \right)\left( {x^{2} + 1} \right)\left( {x^{4} + 1} \right) + 1}$

$~ = \sqrt{\left( {x^{4} - 1} \right)\left( {x^{4} + 1} \right) + 1} = \sqrt{x^{8} - 1 + 1} = \sqrt{x^{8}} = x^{4} = {(\sqrt{2} + 1)}^{4}$

Lưu ý: Có thể thí sinh tính ra kết quả tương đương: $A = 17 + 12\sqrt{2}$.
b) Rút gọn biểu thức: $B = \dfrac{2\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{4} + \sqrt{5} + \sqrt{6} + \sqrt{8} + \sqrt{9} + \sqrt{10}}{\sqrt{1} + \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{4} + \sqrt{5}}$

Ta có $~B = \dfrac{1 + \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{4} + \sqrt{5} + \left( {\sqrt{2} + \sqrt{6} + \sqrt{8} + 2 + \sqrt{10}} \right)}{\sqrt{1} + \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{4} + \sqrt{5}}$

$~ = 1 + \dfrac{\sqrt{2} + 2 + \sqrt{6} + \sqrt{8} + \sqrt{10}}{\sqrt{1} + \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{4} + \sqrt{5}}$

$~ = 1 + \dfrac{\sqrt{2}\left( {1 + \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{4} + \sqrt{5}} \right)}{\sqrt{1} + \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{4} + \sqrt{5}} = 1 + \sqrt{2}$

c) Cho biết $\left( {x + \sqrt{x^{2} + 1}} \right)\left( {y + \sqrt{y^{2} + 1}} \right) = 1,\forall x,y \in {\mathbb{R}}$. Tính $x + y$.

Do $\left( {\sqrt{y^{2} + 1} + y} \right)\left( {\sqrt{y^{2} + 1} - y} \right) = 1$ nên $\sqrt{y^{2} + 1} - y \neq 0$, ta có

$x + \sqrt{x^{2} + 1} = \dfrac{1}{y + \sqrt{y^{2} + 1}} \cdot \dfrac{y - \sqrt{y^{2} + 1}}{y - \sqrt{y^{2} + 1}} = \sqrt{y^{2} + 1} - y$

$\left. ~\Leftrightarrow x + y = \sqrt{y^{2} + 1} - \sqrt{x^{2} + 1} \right.$

Tương tự: $\left. y + \sqrt{y^{2} + 1} = \sqrt{x^{2} + 1} - x\Leftrightarrow x + y = \sqrt{x^{2} + 1} - \sqrt{y^{2} + 1} \right.$
Cộng (1) và (2) vế theo vế ta được $x + y = 0$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link