1) Tìm các số $x,y$ nguyên dương thoả mãn đẳng thức${(x + y)}^{3} + 6xy + 3y^{2} + y = 8x^{3} + 9x^{2} +

Câu hỏi số 798344:

Vận dụng

1) Tìm các số $x,y$ nguyên dương thoả mãn đẳng thức

${(x + y)}^{3} + 6xy + 3y^{2} + y = 8x^{3} + 9x^{2} + 1$

2) Giả sử $x_{1},x_{2},\ldots,x_{2024}$ là các số thực dương thoả mãn $x_{1}x_{2}\ldots x_{2024} = 1$. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M = \left( {x_{1}^{2} - x_{1} + 1} \right)\left( {x_{2}^{2} - x_{2} + 1} \right)\ldots\left( {x_{2024}^{2} - x_{2024} + 1} \right)$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:798344

Phương pháp giải

1) Ta biến đổi phương trình như sau

$~{(x + y)}^{3} + 6xy + 3y^{2} + y = 8x^{3} + 9x^{2} + 1.$

$\left. ~\Leftrightarrow\left( {x - y} \right)\left( {7x^{2} + 4xy + y^{2} + 9x + 3y} \right) = y - 1. \right.$

2) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số thực dương ta có $x^{2} + 1 \geq 2x$, suy ra $x^{2} + 1 - x \geq x$.

Giải chi tiết

1) Ta biến đổi phương trình như sau

$~{(x + y)}^{3} + 6xy + 3y^{2} + y = 8x^{3} + 9x^{2} + 1.$

$\left. \Leftrightarrow 8x^{3} - {(x + y)}^{3} + 6x^{2} - 6xy + 3x^{2} - 3y^{2} = y - 1 \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow\left( {x - y} \right)\left( {7x^{2} + 4xy + y^{2} + 9x + 3y} \right) = y - 1. \right.$

Vì $x,y$ nguyên dương nên $VP \geq 0$, kéo theo $x \geq y$. Nếu $x \neq y$ thì $x - y \geq 1$ suy ra $VP = y - 1 > 3y$ hay $2y < - 1$ vô lí vì $y$ nguyên dương. Do vậy, $x = y$ kéo theo $y = 1$.
Vậy có đúng một cặp số $\left( {x;y} \right)$ thoả mãn $\left( {1;1} \right)$.

2) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số thực dương ta có $x^{2} + 1 \geq 2x$, suy ra $x^{2} + 1 - x \geq x$.

Áp dụng vào bài toán ta có

$~M = \left( {x_{1}^{2} - x_{1} + 1} \right)\left( {x_{2}^{2} - x_{2} + 1} \right)\ldots\left( {x_{2024}^{2} - x_{2024} + 1} \right)$$~ \geq x_{1}x_{2}\ldots x_{2024}$$~ \geq 1$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x_{1} = x_{2} = \cdots = x_{2024} = 1$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của $M$ là 1.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link