1) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} {x^{4} + 4y^{4} - 5x^{2}y^{2} = 4} \\ {\left( {3x + 4y - 2}

Câu hỏi số 798343:

Vận dụng

1) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} {x^{4} + 4y^{4} - 5x^{2}y^{2} = 4} \\ {\left( {3x + 4y - 2} \right)\left( {x^{2} + 2y^{2} - 3xy} \right) = 4} \end{array} \right.$

2) Giải phương trình $\sqrt{x} + \sqrt{3 - 2x} = 1 + \sqrt{2 - x} + \dfrac{1}{3}\sqrt{x - 1}$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:798343

Phương pháp giải

1) Hệ phương trình tương đương với $\left\{ \begin{array}{l} {\left( {x - y} \right)\left( {x - 2y} \right)\left( {x + y} \right)\left( {x + 2y} \right) = 4} \\ {\left( {x - y} \right)\left( {x - 2y} \right)\left( {3x + 4y - 2} \right) = 4} \end{array} \right.$

Hệ trên cho ta $\left( {x + y} \right)\left( {x + 2y} \right) = 3x + 4y - 2$ hay $\left( {x + y - 1} \right)\left( {x + 2y - 2} \right) = 0$

Suy ra $x + y = 1$ hoặc $x + 2y = 2$.

2) Điều kiện xác định: $1 \leq x \leq \dfrac{3}{2}$.

Ta sẽ chứng minh với điều kiện trên của bài toán thì $\sqrt{2 - x} + 1 \geq \sqrt{x} + \sqrt{3 - 2x}$

Giải chi tiết

Hệ trên cho ta $\left( {x + y} \right)\left( {x + 2y} \right) = 3x + 4y - 2$ hay $\left( {x + y - 1} \right)\left( {x + 2y - 2} \right) = 0$

Suy ra $x + y = 1$ hoặc $x + 2y = 2$.

Nếu $x + y = 1$, thế $y = 1 - x$ vào phương trình đầu tiên ta được

$\left( {2x - 1} \right)\left( {3x - 2} \right)\left( {2 - x} \right) = 4$ tương đương với $x\left( {6x^{2} - 19x + 16} \right) = 0$

Do $6x^{2} - 19x + 16 = 6\left( {x - \dfrac{19}{12}} \right)^{2} + \dfrac{23}{144} > 0$ nên ta phải có $x = 0,y = 1$.

Nếu $x + 2y = 2$, thế $x = 2 - 2y$ vào phương trình đầu ta được

$\left( {2 - 3y} \right)\left( {1 - 2y} \right)\left( {2 - y} \right) = 1$ tương đương $\left( {y - 1} \right)\left( {6y^{2} - 13y + 3} \right) = 0$

đến đây tìm được các nghiệm $\left( {x,y} \right)$ của hệ phương trình là

$\left( {0;1} \right),\left( {\dfrac{- 1 - \sqrt{97}}{6};\dfrac{13 + \sqrt{97}}{12}} \right),\left( {\dfrac{- 1 + \sqrt{97}}{6};\dfrac{13 - \sqrt{97}}{12}} \right).$

Vậy hệ phương trình đã cho có đúng ba nghiệm $\left( {x;y} \right)$ là

$\left( {0;1} \right),\left( {\dfrac{- 1 - \sqrt{97}}{6};\dfrac{13 + \sqrt{97}}{12}} \right),\left( {\dfrac{- 1 + \sqrt{97}}{6};\dfrac{13 - \sqrt{97}}{12}} \right).$

2) Điều kiện xác định: $1 \leq x \leq \dfrac{3}{2}$.

Ta sẽ chứng minh với điều kiện trên của bài toán thì $\sqrt{2 - x} + 1 \geq \sqrt{x} + \sqrt{3 - 2x}$

Thật vậy, bình phương hai vế ta có $1 + 2 - x + 2\sqrt{2 - x} \geq x + 3 - 2x + 2\sqrt{x\left( {3 - 2x} \right)}$

hay cần chứng minh $\sqrt{2 - x} \geq \sqrt{x\left( {3 - 2x} \right)}$

Bình phương hai vế lại có $3x - 2x^{2} \leq 2 - x$ hay $2{(x - 1)}^{2} \geq 0$ (luôn đúng).
Do đó ta có $1 + \sqrt{2 - x} + \dfrac{1}{3}\sqrt{x - 1} \geq 1 + \sqrt{2 - x} \geq \sqrt{x} + \sqrt{3 - 2x}$

dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $x = 1$. Nghiệm này thoả mãn điều kiện xác định.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $x = 1$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link