Tìm tất cả các số nguyên dương $m$ sao cho có thể cắt hình vuông có cạnh bằng $m$ thành đúng

Câu hỏi số 798346:

Vận dụng

Tìm tất cả các số nguyên dương $m$ sao cho có thể cắt hình vuông có cạnh bằng $m$ thành đúng 5 hình chữ nhật mà độ dài 10 cạnh của 5 hình chữ nhật đó được lấy từ các số $1,2,3,4,5,6,7,8,9,10$ và mỗi số được lấy đúng một lần.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:798346

Phương pháp giải

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM.

Giải chi tiết

Gọi kích thước của các hình chữ nhật là $a_{1} \times b_{1},a_{2} \times b_{2},\cdots,a_{5} \times b_{5}$.

Thế thì áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có

$m^{2} = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + \cdots + a_{5}b_{5} \geq 5\sqrt[5]{a_{1}a_{2}\ldots a_{5}b_{1}b_{2}\ldots b_{5}} = 5\sqrt[5]{10!} > 100$

Suy ra $m \geq 11$. Hơn nữa, vì $a_{i}b_{i} \leq \dfrac{a_{i}^{2} + b_{i}^{2}}{2}$ nên ta lại có

$m^{2} \leq \dfrac{a_{1}^{2} + b_{1}^{2} + a_{2}^{2} + b_{2}^{2} + \cdots + a_{5}^{2} + b_{5}^{2}}{2} = \dfrac{1^{2} + 2^{2} + \cdots + 10^{2}}{2} < 196$

Do đó, $11 \leq m \leq 13$

Khi $m = 11$, có thể cắt hình vuông cạnh 11 thành 5 hình chữ nhật gồm

$1 \times 9,2 \times$$8,3 \times 6,4 \times 7,5 \times 10$. Xem hình vẽ dưới đây

Khi $m = 13$, có thể cắt hình vuông cạnh 11 thành 5 hình chữ nhật gồm

$1 \times 2,3 \times$$7,4 \times 6,5 \times 10,8 \times 9$. Xem hình vẽ dưới đây

Khi $m = 12$, ta sẽ chứng minh $m = 12$ không thoả mãn. Thật vậy, có 4 hình chữ nhật nằm ở bốn góc của hình vuông. Xem hình vẽ dưới đây

Mỗi cạnh hình vuông được chia thành hai cạnh có tổng bằng 12. Tuy nhiên vì hai đoạn độ dài 1,6 không có cạnh tương ứng để tổng bằng 12. Điều này có nghĩa là hình chữ nhật ở giữa phải là hình $1 \times 6$. Suy ra $\left\{ \begin{array}{l} {12 - \left( {a_{1} + a_{3}} \right) = 6} \\ {12 - \left( {a_{2} + a_{4}} \right) = 1} \end{array} \right.$

Từ đó ta tìm được $a_{1} + a_{3} = 6,a_{2} + a_{4} = 11$. Suy ra $\left( {a_{1},a_{3}} \right)$ là $\left( {2,4} \right)$ hoặc $\left( {4,2} \right)$; còn $\left( {a_{2},a_{4}} \right)$ là $\left( {3,8} \right)$ hoặc $\left( {8,3} \right)$. Không mất tổng quát có thể giả sử $\left( {a_{1},a_{3}} \right) = \left( {2,4} \right)$. Nhưng khi đó $b_{4} = 12 - a_{3} = 8$, tức là cạnh có độ dài 8 xuất hiện hai lần, trái với yêu cầu bài toán.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link