1) Cho $x$ là số thực dương thỏa mãn $\dfrac{x^{3} + 1}{x} = 18\sqrt{x}$. Tính $A = \dfrac{x^{2} + 1}{x}$.2)

Câu hỏi số 798347:

Vận dụng

1) Cho $x$ là số thực dương thỏa mãn $\dfrac{x^{3} + 1}{x} = 18\sqrt{x}$. Tính $A = \dfrac{x^{2} + 1}{x}$.

2) Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $a + b + c + \sqrt{abc} = 4$. Rút gọn biểu thức $A = \sqrt{a\left( {4 - b} \right)\left( {4 - c} \right)} + \sqrt{b\left( {4 - c} \right)\left( {4 - a} \right)} + \sqrt{c\left( {4 - a} \right)\left( {4 - b} \right)} - \sqrt{abc}$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:798347

Phương pháp giải

1) Ta có$\left. :\dfrac{x^{3} + 1}{x} = 18\sqrt{x}\Leftrightarrow\dfrac{x^{3} + 1}{x\sqrt{x}} = 18\Leftrightarrow\dfrac{x^{6} + 2x^{3} + 1}{x^{3}} = 324\Leftrightarrow x^{3} + \dfrac{1}{x^{3}} = 322 \right.$

2) Chứng minh $\sqrt{a\left( {4 - b} \right)\left( {4 - c} \right)} = 2a + \sqrt{abc}$ (1)

Tương tự, suy ra $\sqrt{b\left( {4 - c} \right)\left( {4 - a} \right)} = 2b + \sqrt{abc}$ (2)

$\sqrt{c\left( {4 - a} \right)\left( {4 - c} \right)} = 2c + \sqrt{abc}$ (3)

Lấy $(1) + (2) + (3)$, ta được

$~A = \sqrt{a\left( {4 - b} \right)\left( {4 - c} \right)} + \sqrt{b\left( {4 - c} \right)\left( {4 - a} \right)} + \sqrt{c\left( {4 - a} \right)\left( {4 - b} \right)} - \sqrt{abc}$

Giải chi tiết

1) Ta có $\left. :\dfrac{x^{3} + 1}{x} = 18\sqrt{x}\Leftrightarrow\dfrac{x^{3} + 1}{x\sqrt{x}} = 18\Leftrightarrow\dfrac{x^{6} + 2x^{3} + 1}{x^{3}} = 324\Leftrightarrow x^{3} + \dfrac{1}{x^{3}} = 322 \right.$

Suy ra $\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right)^{3} - 3\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right) - 322 = 0$
Đặt $x + \dfrac{1}{x} = t\left( {t \geq 2} \right)$ ta có $\left. t^{3} - 3t - 322 = 0\Leftrightarrow\left( {t - 7} \right)\left( {t^{2} + 7t + 46} \right) = 0 \right.$
Vì $t^{2} + 7t + 46 = \left( {t + \dfrac{7}{2}} \right)^{2} + \dfrac{43}{2} > 0$, do đó $t = 7$ hay $\left. x + \dfrac{1}{x} = 7\Leftrightarrow\dfrac{x^{2} + 1}{x} = 7 \right.$.
Vậy $A = 7$

2) Ta có

$\left( {4 - b} \right)\left( {4 - c} \right) = 16 - 4\left( {b + c} \right) + bc$

$~ = 4\left( {a + b + c + \sqrt{abc}} \right) - 4\left( {b + c} \right) + bc$

$~ = 4a + 4\sqrt{abc} + bc$

Suy ra $\ a\left( {4 - b} \right)\left( {4 - c} \right) = 4a^{2} + 4a\sqrt{abc} + abc = {(2a + \sqrt{abc})}^{2}$

$\left. \Rightarrow\sqrt{a\left( {4 - b} \right)\left( {4 - c} \right)} = 2a + \sqrt{abc} \right.$ (1)

Tương tự, suy ra $\sqrt{b\left( {4 - c} \right)\left( {4 - a} \right)} = 2b + \sqrt{abc}$ (2)

$\sqrt{c\left( {4 - a} \right)\left( {4 - c} \right)} = 2c + \sqrt{abc}$ (3)

Lấy $(1) + (2) + (3)$, ta được

$~A = \sqrt{a\left( {4 - b} \right)\left( {4 - c} \right)} + \sqrt{b\left( {4 - c} \right)\left( {4 - a} \right)} + \sqrt{c\left( {4 - a} \right)\left( {4 - b} \right)} - \sqrt{abc}$

$~ = 2a + \sqrt{abc} + 2b + \sqrt{abc} + 2c + \sqrt{abc} - \sqrt{abc}$

$~ = 2a + 2b + 2c + 2\sqrt{abc} = 8$

Vậy $A = 8$.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link