1) Cho $x$ là số thực dương thỏa mãn $\dfrac{x^{3} + 1}{x} = 18\sqrt{x}$. Tính $A = \dfrac{x^{2} + 1}{x}$.2)

Câu hỏi số 798347:

Vận dụng

1) Cho $x$ là số thực dương thỏa mãn $\dfrac{x^{3} + 1}{x} = 18\sqrt{x}$. Tính $A = \dfrac{x^{2} + 1}{x}$.

2) Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $a + b + c + \sqrt{abc} = 4$. Rút gọn biểu thức $A = \sqrt{a\left( {4 - b} \right)\left( {4 - c} \right)} + \sqrt{b\left( {4 - c} \right)\left( {4 - a} \right)} + \sqrt{c\left( {4 - a} \right)\left( {4 - b} \right)} - \sqrt{abc}$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:798347

Phương pháp giải

1) Ta có$\left. :\dfrac{x^{3} + 1}{x} = 18\sqrt{x}\Leftrightarrow\dfrac{x^{3} + 1}{x\sqrt{x}} = 18\Leftrightarrow\dfrac{x^{6} + 2x^{3} + 1}{x^{3}} = 324\Leftrightarrow x^{3} + \dfrac{1}{x^{3}} = 322 \right.$

2) Chứng minh $\sqrt{a\left( {4 - b} \right)\left( {4 - c} \right)} = 2a + \sqrt{abc}$ (1)

Tương tự, suy ra $\sqrt{b\left( {4 - c} \right)\left( {4 - a} \right)} = 2b + \sqrt{abc}$ (2)

$\sqrt{c\left( {4 - a} \right)\left( {4 - c} \right)} = 2c + \sqrt{abc}$ (3)

Lấy $(1) + (2) + (3)$, ta được

$~A = \sqrt{a\left( {4 - b} \right)\left( {4 - c} \right)} + \sqrt{b\left( {4 - c} \right)\left( {4 - a} \right)} + \sqrt{c\left( {4 - a} \right)\left( {4 - b} \right)} - \sqrt{abc}$

Giải chi tiết

1) Ta có $\left. :\dfrac{x^{3} + 1}{x} = 18\sqrt{x}\Leftrightarrow\dfrac{x^{3} + 1}{x\sqrt{x}} = 18\Leftrightarrow\dfrac{x^{6} + 2x^{3} + 1}{x^{3}} = 324\Leftrightarrow x^{3} + \dfrac{1}{x^{3}} = 322 \right.$

Suy ra $\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right)^{3} - 3\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right) - 322 = 0$
Đặt $x + \dfrac{1}{x} = t\left( {t \geq 2} \right)$ ta có $\left. t^{3} - 3t - 322 = 0\Leftrightarrow\left( {t - 7} \right)\left( {t^{2} + 7t + 46} \right) = 0 \right.$
Vì $t^{2} + 7t + 46 = \left( {t + \dfrac{7}{2}} \right)^{2} + \dfrac{43}{2} > 0$, do đó $t = 7$ hay $\left. x + \dfrac{1}{x} = 7\Leftrightarrow\dfrac{x^{2} + 1}{x} = 7 \right.$.
Vậy $A = 7$

2) Ta có

$\left( {4 - b} \right)\left( {4 - c} \right) = 16 - 4\left( {b + c} \right) + bc$

$~ = 4\left( {a + b + c + \sqrt{abc}} \right) - 4\left( {b + c} \right) + bc$

$~ = 4a + 4\sqrt{abc} + bc$

Suy ra $\ a\left( {4 - b} \right)\left( {4 - c} \right) = 4a^{2} + 4a\sqrt{abc} + abc = {(2a + \sqrt{abc})}^{2}$

$\left. \Rightarrow\sqrt{a\left( {4 - b} \right)\left( {4 - c} \right)} = 2a + \sqrt{abc} \right.$ (1)

Tương tự, suy ra $\sqrt{b\left( {4 - c} \right)\left( {4 - a} \right)} = 2b + \sqrt{abc}$ (2)

$\sqrt{c\left( {4 - a} \right)\left( {4 - c} \right)} = 2c + \sqrt{abc}$ (3)

Lấy $(1) + (2) + (3)$, ta được

$~A = \sqrt{a\left( {4 - b} \right)\left( {4 - c} \right)} + \sqrt{b\left( {4 - c} \right)\left( {4 - a} \right)} + \sqrt{c\left( {4 - a} \right)\left( {4 - b} \right)} - \sqrt{abc}$

$~ = 2a + \sqrt{abc} + 2b + \sqrt{abc} + 2c + \sqrt{abc} - \sqrt{abc}$

$~ = 2a + 2b + 2c + 2\sqrt{abc} = 8$

Vậy $A = 8$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link