1) Giải phương trình nghiệm nguyên $2x^{2} + 4xy + 3x + 6y = 4$.2) Giải hệ phương trình $\left\{

Câu hỏi số 798455:

Vận dụng

1) Giải phương trình nghiệm nguyên $2x^{2} + 4xy + 3x + 6y = 4$.

2) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} {x^{2} - 2xy + 6x - 12y = 0} \\ {{(x - y + 5)}^{4} + {(y + 5)}^{2} = 2.} \end{array} \right.$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:798455

Phương pháp giải

1) Та со́ $2x^{2} + 4xy + 3x + 6y = 4$, với $x,y \in {\mathbb{Z}}$.

$\left. \Leftrightarrow 2x\left( {x + 2y} \right) + 3\left( {x + 2y} \right) = 4\Leftrightarrow\left( {x + 2y} \right)\left( {2x + 3} \right) = 4(1). \right.$

Vậy $\left. (1)\Leftrightarrow\left\{ \begin{matrix} {2x + 3 = 1} \\ {x + 2y = 4} \end{matrix} \right. \right.$

2) Ta có $\left\{ \begin{array}{l} {x^{2} - 2xy + 6x - 12y = 0(1)} \\ {{(x - y + 5)}^{4} + {(y + 5)}^{2} = 2(2).} \end{array} \right.$
(1) $\left. \Leftrightarrow x\left( {x - 2y} \right) + 6\left( {x - 2y} \right) = 0\Leftrightarrow\left( {x - 2y} \right)\left( {x + 6} \right) = 0 \right.$.

$\left. \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x = 2y} \\ {x = - 6.} \end{array} \right. \right.$

Giải chi tiết

1) Та со́ $2x^{2} + 4xy + 3x + 6y = 4$, với $x,y \in {\mathbb{Z}}$.

$\left. \Leftrightarrow 2x\left( {x + 2y} \right) + 3\left( {x + 2y} \right) = 4\Leftrightarrow\left( {x + 2y} \right)\left( {2x + 3} \right) = 4(1). \right.$

Vì $x,y \in {\mathbb{Z}}$ nên $x + 2y,2x + 3 \in {\mathbb{Z}}$ và $2x + 3$ là số lẻ.

Vậy $\left. (1)\Leftrightarrow\left\{ \begin{matrix} {2x + 3 = 1} \\ {x + 2y = 4} \end{matrix} \right. \right.$ hoặc $\left\{ \begin{matrix} {2x + 3 = - 1} \\ {x + 2y = - 4} \end{matrix} \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow \right.$ $\left\{ \begin{matrix} {x = - 1} \\ {y = \dfrac{5}{2}} \end{matrix} \right.$ (loại) hoặc $\left\{ {\begin{matrix} {x = - 2} \\ {y = - 1} \end{matrix}\ } \right.$ (nhận)

Do đó phương trình đã cho có nghiệm nguyên $\left( {x;y} \right)$ là $\left( {- 2; - 1} \right)$.

$\left. \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x = 2y} \\ {x = - 6.} \end{array} \right. \right.$

Với $x = - 6$ ta có $\left. (2)\Leftrightarrow{(y + 1)}^{4} + {(y + 5)}^{2} = 2(3) \right.$.

Đặt $a = y + 1$.
(3) trở thành $\left. a^{4} + {(a + 4)}^{2} - 2 = 0\Leftrightarrow a^{4} + a^{2} + 8a + 14 = 0 \right.$
$\left. \Leftrightarrow a^{4} - 2a^{2} + 1 + 2\left( {a^{2} + 4a + 4} \right) + a^{2} + 5 = 0 \right.$
$\left. \Leftrightarrow\left( {a^{2} - 1} \right)^{2} + 2{(a + 2)}^{2} + a^{2} + 5 = 0 \right.$, phương trình này vô nghiệm
(vì $\left( {a^{2} - 1} \right)^{2} + 2{(a + 2)}^{2} + a^{2} + 5 > 0,\forall a \in {\mathbb{R}}$).
Với $x = 2y(4)$ ta có $\left. (2)\Leftrightarrow{(y + 5)}^{4} + {(y + 5)}^{2} - 2 = 0(5) \right.$.

Đặt $t = {(y + 5)}^{2} \geq 0$.
(5) trở thành $\left. t^{2} + t - 2 = 0\Leftrightarrow t = 1 \right.$ (nhận) hoặc $t = - 2$ (loại) $($do $1 + 1 - 2 = 0)$

Vậy $\left. {(y + 5)}^{2} - 1 = 0\Leftrightarrow\left( {y + 6} \right)\left( {y + 4} \right) = 0\Leftrightarrow y = - 6 \right.$ hoặc $y = - 4$.

Với $y = - 6$ ta có $\left. (4)\Leftrightarrow x = - 12 \right.$.

Với $y = - 4$ ta có $\left. (4)\Leftrightarrow x = - 8 \right.$.

Do đó hệ phương trình đã cho có hai nghiệm $\left( {x;y} \right)$ là $\left( {- 12; - 6} \right),\left( {- 8; - 4} \right)$.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link