1) Giải phương trình nghiệm nguyên $2x^{2} + 4xy + 3x + 6y = 4$.2) Giải hệ phương trình $\left\{

Câu hỏi số 798455:

Vận dụng

1) Giải phương trình nghiệm nguyên $2x^{2} + 4xy + 3x + 6y = 4$.

2) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} {x^{2} - 2xy + 6x - 12y = 0} \\ {{(x - y + 5)}^{4} + {(y + 5)}^{2} = 2.} \end{array} \right.$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:798455

Phương pháp giải

1) Та со́ $2x^{2} + 4xy + 3x + 6y = 4$, với $x,y \in {\mathbb{Z}}$.

$\left. \Leftrightarrow 2x\left( {x + 2y} \right) + 3\left( {x + 2y} \right) = 4\Leftrightarrow\left( {x + 2y} \right)\left( {2x + 3} \right) = 4(1). \right.$

Vậy $\left. (1)\Leftrightarrow\left\{ \begin{matrix} {2x + 3 = 1} \\ {x + 2y = 4} \end{matrix} \right. \right.$

2) Ta có $\left\{ \begin{array}{l} {x^{2} - 2xy + 6x - 12y = 0(1)} \\ {{(x - y + 5)}^{4} + {(y + 5)}^{2} = 2(2).} \end{array} \right.$
(1) $\left. \Leftrightarrow x\left( {x - 2y} \right) + 6\left( {x - 2y} \right) = 0\Leftrightarrow\left( {x - 2y} \right)\left( {x + 6} \right) = 0 \right.$.

$\left. \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x = 2y} \\ {x = - 6.} \end{array} \right. \right.$

Giải chi tiết

1) Та со́ $2x^{2} + 4xy + 3x + 6y = 4$, với $x,y \in {\mathbb{Z}}$.

$\left. \Leftrightarrow 2x\left( {x + 2y} \right) + 3\left( {x + 2y} \right) = 4\Leftrightarrow\left( {x + 2y} \right)\left( {2x + 3} \right) = 4(1). \right.$

Vì $x,y \in {\mathbb{Z}}$ nên $x + 2y,2x + 3 \in {\mathbb{Z}}$ và $2x + 3$ là số lẻ.

Vậy $\left. (1)\Leftrightarrow\left\{ \begin{matrix} {2x + 3 = 1} \\ {x + 2y = 4} \end{matrix} \right. \right.$ hoặc $\left\{ \begin{matrix} {2x + 3 = - 1} \\ {x + 2y = - 4} \end{matrix} \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow \right.$ $\left\{ \begin{matrix} {x = - 1} \\ {y = \dfrac{5}{2}} \end{matrix} \right.$ (loại) hoặc $\left\{ {\begin{matrix} {x = - 2} \\ {y = - 1} \end{matrix}\ } \right.$ (nhận)

Do đó phương trình đã cho có nghiệm nguyên $\left( {x;y} \right)$ là $\left( {- 2; - 1} \right)$.

$\left. \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x = 2y} \\ {x = - 6.} \end{array} \right. \right.$

Với $x = - 6$ ta có $\left. (2)\Leftrightarrow{(y + 1)}^{4} + {(y + 5)}^{2} = 2(3) \right.$.

Đặt $a = y + 1$.
(3) trở thành $\left. a^{4} + {(a + 4)}^{2} - 2 = 0\Leftrightarrow a^{4} + a^{2} + 8a + 14 = 0 \right.$
$\left. \Leftrightarrow a^{4} - 2a^{2} + 1 + 2\left( {a^{2} + 4a + 4} \right) + a^{2} + 5 = 0 \right.$
$\left. \Leftrightarrow\left( {a^{2} - 1} \right)^{2} + 2{(a + 2)}^{2} + a^{2} + 5 = 0 \right.$, phương trình này vô nghiệm
(vì $\left( {a^{2} - 1} \right)^{2} + 2{(a + 2)}^{2} + a^{2} + 5 > 0,\forall a \in {\mathbb{R}}$).
Với $x = 2y(4)$ ta có $\left. (2)\Leftrightarrow{(y + 5)}^{4} + {(y + 5)}^{2} - 2 = 0(5) \right.$.

Đặt $t = {(y + 5)}^{2} \geq 0$.
(5) trở thành $\left. t^{2} + t - 2 = 0\Leftrightarrow t = 1 \right.$ (nhận) hoặc $t = - 2$ (loại) $($do $1 + 1 - 2 = 0)$

Vậy $\left. {(y + 5)}^{2} - 1 = 0\Leftrightarrow\left( {y + 6} \right)\left( {y + 4} \right) = 0\Leftrightarrow y = - 6 \right.$ hoặc $y = - 4$.

Với $y = - 6$ ta có $\left. (4)\Leftrightarrow x = - 12 \right.$.

Với $y = - 4$ ta có $\left. (4)\Leftrightarrow x = - 8 \right.$.

Do đó hệ phương trình đã cho có hai nghiệm $\left( {x;y} \right)$ là $\left( {- 12; - 6} \right),\left( {- 8; - 4} \right)$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link