1) Cho đa thức $P(x) = x^{3} + bx^{2} + cx + d$, với $b,c,d$ là các số nguyên. Biết rằng $P(x)$ có một

Câu hỏi số 798456:

Vận dụng

1) Cho đa thức $P(x) = x^{3} + bx^{2} + cx + d$, với $b,c,d$ là các số nguyên. Biết rằng $P(x)$ có một nghiệm $x = \sqrt{2}$ và $P(1) = 4$. Tìm $b,c,d$.

2) Cho ba số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $a + b + c \geq \dfrac{3}{2}$.

Chứng minh rằng: $\sqrt{{(a + b)}^{2} + 3} + \sqrt{{(b + c)}^{2} + 3} + \sqrt{{(c + a)}^{2} + 3} \geq 6$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:798456

Phương pháp giải

1) Ta có $P(x) = x^{3} + bx^{2} + cx + d$ (với $b,c,d \in {\mathbb{Z}}$).
Vì $P(1) = 4$ nên $\left. 1 + b + c + d = 4\Leftrightarrow b + c + d = 3 \right.$ (1).

Giải chi tiết

1) Ta có $P(x) = x^{3} + bx^{2} + cx + d$ (với $b,c,d \in {\mathbb{Z}}$).
Vì $P(1) = 4$ nên $\left. 1 + b + c + d = 4\Leftrightarrow b + c + d = 3 \right.$ (1).
Vì $x = \sqrt{2}$ là một nghiệm của $P(x)$ nên $\left. P\left( \sqrt{2} \right) = 0\Leftrightarrow 2\sqrt{2} + 2b + \sqrt{2}c + d = 0 \right.$
$\left. \Leftrightarrow 2b + d = - \sqrt{2}\left( {c + 2} \right)\Rightarrow c + 2 = 0\Leftrightarrow c = - 2 \right.$ (vì $c \in {\mathbb{Z}}$ nên nếu $c + 2 \neq 0$ thì $- \sqrt{2}\left( {c + 2} \right)$ là số vô tỷ, vô lý, do $2b + d \in {\mathbb{Z}}$ nên không là số vô tỷ).
Kết hợp với (1) ta có $\left\{ \begin{array}{l} {b + d = 5} \\ {2b + d = 0} \end{array}\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {b = - 5} \\ {d = 10.} \end{array} \right. \right.$
Vậy các giá trị cần tìm là $b = - 5,c = - 2,d = 10$.

2) Ta có $a,b,c > 0$ thỏa mãn $a + b + c \geq \dfrac{3}{2}$.
Cần chứng minh $\sqrt{{(a + b)}^{2} + 3} + \sqrt{{(b + c)}^{2} + 3} + \sqrt{{(c + a)}^{2} + 3} \geq 6$ (1).
Bổ đề: Với $x > 0$ ta có $x^{2} + 3 \geq \dfrac{{(x + 3)}^{2}}{4}$ (2).
Thật vậy, (2) $\left. \Leftrightarrow 4x^{2} + 12 \geq x^{2} + 6x + 9\Leftrightarrow 3{(x - 1)}^{2} \geq 0 \right.$ (luôn đúng, $\forall x \in {\mathbb{R}}$).

Áp dụng (2) ta có $\sqrt{{(a + b)}^{2} + 3} \geq \sqrt{\dfrac{{(a + b + 3)}^{2}}{4}} = \dfrac{a + b + 3}{2}$.
Tương tự $\sqrt{{(b + c)}^{2} + 3} \geq \dfrac{b + c + 3}{2}$ và $\sqrt{{(c + a)}^{2} + 3} \geq \dfrac{c + a + 3}{2}$.
Vậy $\sqrt{{(a + b)}^{2} + 3} + \sqrt{{(b + c)}^{2} + 3} + \sqrt{{(c + a)}^{2} + 3} \geq \dfrac{2\left( {a + b + c} \right) + 9}{2} \geq 6$.
Bất đẳng thức (1) được chứng minh, dấu bằng xảy ra $\left. \Leftrightarrow a = b = c = \dfrac{1}{2} \right.$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link