Cho hình vuông $ABCD$. Lấy điểm $P$ thuộc cạnh $AB$ ($P$ khác $A$ và $B$). Gọi $J$ là tâm đường
Cho hình vuông $ABCD$. Lấy điểm $P$ thuộc cạnh $AB$ ($P$ khác $A$ và $B$). Gọi $J$ là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $PAD$.
1) Chứng minh rằng tứ giác $PJDB$ nội tiếp
2) Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $PJD,S$ là giao điểm của $JH$ và $AD$. Chứng minh rằng $SH = SD$.
3) Gọi $L$ là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác $PBC,K$ là trực tâm của tam giác $LPC$. Đường tròn nội tiếp của tam giác $PCD$ tiếp xúc $CD$ tại $E$. Lấy $F$ thuộc đoạn thẳng $CD$ sao cho $CF = DE$. Chứng minh rằng tam giác $FHK$ vuông cân
Quảng cáo
a) Chứng minh $\angle PJD + \angle PBD = 180^{\circ}$
Suy ra tứ giác $PJDB$ nội tiếp.
b) Ta có $HS\bot PD,HD\bot PJ,SD\bot AP$ nên $\angle SHD = \angle JPD = \angle JPA = \angle SDH$.
Vậy $SH = SD$.
c) $PJ$ cắt $HD$ tại $U,PL$ cắt $CK$ tại $V$. PU cắt $DC$ tại G. HD cắt $KC$ tại $T$.
Chứng minh $HT$ là phân giác ngoài của $\angle PDC$.
Chứng minh $\Delta HUV = \Delta FVK$ (c.g.c).
Ta thu được $FH = FK$.
Đồng thời $\angle VFK = \angle UHF$.
Chứng minh $\angle HFK = 90^{\circ}$.
Vậy tam giác $HFK$ vuông cân tại $F$.
a) Ta có $\angle PJD = 90^{\circ} + \dfrac{1}{2}\angle PAD = 135^{\circ},\angle PBD = 45^{\circ}$ nên $\angle PJD + \angle PBD = 180^{\circ}$.
Suy ra tứ giác $PJDB$ nội tiếp.
b) Ta có $HS\bot PD,HD\bot PJ,SD\bot AP$ nên $\angle SHD = \angle JPD = \angle JPA = \angle SDH$.
Vậy $SH = SD$.
c) $PJ$ cắt $HD$ tại $U,PL$ cắt $CK$ tại $V$. PU cắt $DC$ tại G. HD cắt $KC$ tại $T$.
Ta có $\angle HDP = 180^{\circ} - \angle HJP = 90^{\circ} - \dfrac{1}{2}\angle APD = 90^{\circ} - \dfrac{1}{2}\angle PDC$.
Suy ra $HT$ là phân giác ngoài của $\angle PDC$.
Tương tự suy ra $T$ là tâm đường tròn bàng tiếp góc $P$ của tam giác $PDC$.
Do đó $TF\bot CD$.
Do $DH$ là phân giác $\angle PDG$ nên $G$ đối xứng với $P$ qua $U$.
Lại có tứ giác $UFTG$ nội tiếp nên $\angle UFG = \angle UTG = \angle PTU = \angle ZCD$ Suy ra $UF \parallel ZC \parallel PL$
Tương tự $VF \parallel PJ$. Suy ra $PUFV$ là hình bình hành.
Mà $\angle DHP = 45^{\circ}$ nên $UP = UH$. Do đó $UH = FV$. Tương tự $UF = VK$
Ta lại có $\angle HUF = \angle PUF + 90^{\circ} = \angle PVF + 90^{\circ} = \angle FVK$.
Suy ra $\Delta HUV = \Delta FVK$ (c.g.c).
Ta thu được $FH = FK$.
Đồng thời $\angle VFK = \angle UHF$.
Suy ra $\angle HFK = \angle UFV - \angle UFH - \angle VFK = \angle JPL - \angle UHF - \angle UFH$
$= \angle JPL - \angle TUF = \angle JPL - \angle TGF = \angle JPL - \angle DPT = 90^{\circ}$.
Vậy tam giác $HFK$ vuông cân tại $F$.
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
