1) Tìm các số nguyên dương $x,y,z$ thỏa mãn hệ phương trình$\left\{ \begin{array}{l} {27x^{3} + 27x^{2}

Câu hỏi số 798810:

Vận dụng

1) Tìm các số nguyên dương $x,y,z$ thỏa mãn hệ phương trình

$\left\{ \begin{array}{l} {27x^{3} + 27x^{2} + 10y = {(x + 3z)}^{3}} \\ {27y^{3} + 27y^{2} + 10x = {(y + 3z)}^{3}} \end{array} \right.$

2) Với $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện

$\left( {a + 2} \right)b^{2} + \left( {b + 2} \right)c^{2} + \left( {c + 2} \right)a^{2} \geq 8 + abc$

Chứng minh rằng $2\left( {ab + bc + ca} \right) \leq a^{2}\left( {a + b} \right) + b^{2}\left( {b + c} \right) + c^{2}\left( {c + a} \right)$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:798810

Phương pháp giải

1) Xét hệ phương trình với nghiệm nguyên dương: $\left\{ \begin{array}{l} {27x^{3} + 27x^{2} + 10y = {(x + 3z)}^{3}} \\ {27y^{3} + 27y^{2} + 10x = {(y + 3z)}^{3}} \end{array} \right.$

Trường hợp 1: $x = y$

Trường hợp 2: $x > y$

Trường hợp 3: $x < y$

2) Ta viết lại giả thiết của bài toán dưới dạng

$\left( {a + 2} \right)b\left( {b + 2} \right) + \left( {b + 2} \right)c\left( {c + 2} \right) + \left( {c + 2} \right)a\left( {a + 2} \right) \geq \left( {a + 2} \right)\left( {b + 2} \right)\left( {c + 2} \right)$

$\left. \Leftrightarrow\dfrac{b}{c + 2} + \dfrac{c}{a + 2} + \dfrac{a}{b + 2} \geq 1 \right.$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki.

Giải chi tiết

1) Xét hệ phương trình với nghiệm nguyên dương: $\left\{ \begin{array}{l} {27x^{3} + 27x^{2} + 10y = {(x + 3z)}^{3}} \\ {27y^{3} + 27y^{2} + 10x = {(y + 3z)}^{3}} \end{array} \right.$

Trường hợp 1: $x = y$ Khi đó: $27x^{3} + 27x^{2} + 10x = {(x + 3z)}^{3}$

Nhận xét: ${(3x + 2)}^{3} = 27x^{3} + 54x^{2} + 36x + 8 > 27x^{3} + 27x^{2} + 10x >$ ${(3x)}^{3}$.

Nên $\left. 27x^{3} + 27x^{2} + 10x = {(3x + 1)}^{3}\Rightarrow x = 1,y = 1 \right.$ và $z = 1$.
Kiểm tra: $x = y = z = 1$ thỏa mãn.

Trường hợp 2: $x > y$. Khi đó:
${(3x + 1)}^{3} = 27x^{3} + 27x^{2} + 9x + 1 > 27x^{3} + 27x^{2} + 10y = {(x + 3z)}^{3} > {(3x)}^{3}$ Vô nghiệm.

Trường hợp 3: $x < y$. CMTT trường hợp 2, hệ pt vô nghiệm.

Vậy $x = y = z = 1$

2) Ta viết lại giả thiết của bài toán dưới dạng

$\left. \Leftrightarrow\dfrac{b}{c + 2} + \dfrac{c}{a + 2} + \dfrac{a}{b + 2} \geq 1 \right.$

Ta có: $\dfrac{b}{c + 2} = \dfrac{b\left( {c + a^{2} + b^{2}} \right)}{\left( {c + 1 + 1} \right)\left( {c + a^{2} + b^{2}} \right)} \leq \dfrac{b\left( {c + a^{2} + b^{2}} \right)}{{(a + b + c)}^{2}}$.
Vì theo BĐT Bunhiacopxki: $\left( {c + 1 + 1} \right)\left( {c + a^{2} + b^{2}} \right) \geq {(c + a + b)}^{2}$.

Chứng minh tương tự: $\dfrac{c}{a + 2} \leq \dfrac{c\left( {a + b^{2} + c^{2}} \right)}{{(a + b + c)}^{2}};\ \dfrac{a}{b + 2} \leq \dfrac{a\left( {b + a^{2} + c^{2}} \right)}{{(a + b + c)}^{2}}$

Khi đó: $a\left( {b + c^{2} + a^{2}} \right) + b\left( {b + c^{2} + a^{2}} \right) + c\left( {a + b^{2} + c^{2}} \right) \geq {(a + b + c)}^{2}$.
Tương đương với:

$a^{2}\left( {a + b} \right) + b^{2}\left( {b + c} \right) + c^{2}\left( {c + a} \right) + \left( {a^{2} + b^{2} + c^{2}} \right) \geq \left( {a^{2} + b^{2} + c^{2}} \right) + 2\left( {ab + bc + ca} \right)$

Suy ra: $a^{2}\left( {a + b} \right) + b^{2}\left( {b + c} \right) + c^{2}\left( {c + a} \right) \geq 2\left( {ab + bc + ca} \right)$. ĐPCM.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link