a) Cho $a,b,c$ là ba số nguyên khác không thỏa mãn $\dfrac{2025}{a} = \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}$. Chứng

Câu hỏi số 798815:

Vận dụng

a) Cho $a,b,c$ là ba số nguyên khác không thỏa mãn $\dfrac{2025}{a} = \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}$. Chứng minh rằng $abc$ chia hết cho 4 .
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên tố $\left( {p,q} \right)$ sao cho $p^{2} - 3pq + 4q^{2}$ là một số chính phương.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:798815

Phương pháp giải

a) $\left. \dfrac{2025}{a} = \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}\Leftrightarrow 2025bc = a\left( {b + c} \right) \right.$

b) $p^{2} - 3pq + 4q^{2} = \left( {p^{2} + q^{2}} \right) - 3\left( {pq - q^{2}} \right)$

Giải chi tiết

a) $\left. \dfrac{2025}{a} = \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}\Leftrightarrow 2025bc = a\left( {b + c} \right) \right.$

Nếu $b$ và $c$ cùng lẻ $\Rightarrow$ Vế trái lẻ, vế trái chẵn (vô lý)
Nếu $b$ và $c$ cùng chẵn $\left. \Rightarrow abc \right.$ chia hết cho 4
Nếu $b$ và $c$ khác tính chẵn lẻ $\left. \Rightarrow bc \right.$ chẵn $\left. \Rightarrow a\left( {b + c} \right) \right.$ chẵn mà $b + c$ lẻ $\left. \Rightarrow a \right.$ chẵn $\left. \Rightarrow abc \right.$ chia hết cho 4.

b) $p^{2} - 3pq + 4q^{2} = \left( {p^{2} + q^{2}} \right) - 3\left( {pq - q^{2}} \right)$

Nếu cả p và q đều không chia hết cho $\left. 3\Rightarrow p^{2} \equiv 1\left( {\text{mod}3} \right),q^{2} \equiv 1\left( {\text{mod}3} \right) \right.$ $\left. \Rightarrow p^{2} - 3pq + 4q^{2} = \left( {p^{2} + q^{2}} \right) - 3\left( {pq - q^{2}} \right) \equiv 2\left( {\text{mod}3} \right) \right.$, vô lý vì $p^{2} - 3pq + 4q^{2}$ chính phương. Vậy trong hai số $p,q$ có 1 số chia hết cho 3 , mà $p,q$ nguyên tố nên $p = 3$ hoặc $q = 3$.
Với $\left. p = 3\Rightarrow r^{2} = 4q^{2} - 9q + 9\left( {r \in {\mathbb{N}}} \right) \right.$
$\left. {(2q - 3)}^{2} < r^{2} < {(2q - 1)}^{2}\Rightarrow 4q^{2} - 9q + 9 = {(2q - 2)}^{2}\Leftrightarrow q = 5 \right.$ (thỏa mãn)

Với $\left. q = 3\Rightarrow r^{2} = p^{2} - 9p + 36 > p^{2} - 10p + 25 = {(p - 5)}^{2}( \right.$do $p > 0)$
Với $p = 2$, ta có $r^{2} = 2^{2} - 9.2 + 36 = 22\left( \text{ktm} \right)$
Với $p = 3$, ta có $r^{2} = 3^{2} - 9.3 + 36 = 18\left( \text{ktm} \right)$
Với $p = 5$, ta có $r^{2} = 5^{2} - 9.5 + 36 = 16\left( \text{tm} \right)$
Với $p = 7$, ta có $r^{2} = 7^{2} - 9.7 + 36 = 22\left( \text{ktm} \right)$
Với $p$ là số nguyên tố lớn hơn 7 , ta có:

$r^{2} = p^{2} - 9p + 36 < p^{2} - 6p + 9 = {(p - 3)}^{2},$

nên ${(p - 5)}^{2} < r^{2} < {(p - 3)}^{2}$. Do đó $r^{2} = {(p - 4)}^{2}$
Với $\left. r^{2} = {(p - 4)}^{2}\Leftrightarrow p^{2} - 9p + 36 = p^{2} - 8p + 16\Leftrightarrow p = 20 \right.$ ( ktm )
Vậy $\left\lbrack \begin{array}{l} {p = 3,q = 5} \\ {p = 5,q = 3} \end{array} \right.$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link