Qua điểm $A$ ở bên ngoài đường tròn $(O)$ vẽ hai tiếp tuyến $AB,AC$ với đường tròn $(O)(B,C$

Câu hỏi số 798816:

Vận dụng

Qua điểm $A$ ở bên ngoài đường tròn $(O)$ vẽ hai tiếp tuyến $AB,AC$ với đường tròn $(O)(B,C$ là các tiếp điểm). Trên đoạn thẳng $BC$ lấy điểm $D$ bất kì $(D$ khác $B,D$ khác $C)$. Đường tròn ( $O$ ') ngoại tiếp tam giác $ACD$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm $E$ ($E$ khác $C$), tia $AE$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm $F(F$ khác $E)$, hai đường thẳng $AD$ và $CF$ cắt nhau tại điểm $G$.
a) Chứng minh tứ giác $DEFG$ nội tiếp.
b) Chứng minh $\dfrac{EA}{ED} = \dfrac{BA}{BD}$.
c) Chứng minh $GB = GF$.
d) Hai đường thẳng $CE$ và $AD$ cắt nhau tại điểm $M$, đường thẳng $BM$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm $N$. Chứng minh ba điểm $N,D,F$ thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:798816

Phương pháp giải

a) Tứ giác $DEFG$ có $\left. \angle ADE = \angle GFE\Rightarrow \right.$ tứ giác $DEFG$ nội tiếp

b) $\left. \Delta ABE \backsim \Delta AFB\Rightarrow\dfrac{EA}{BA} = \dfrac{BA}{FA} \right.$

$\left. \Delta BED \backsim \Delta FCA\Rightarrow\dfrac{ED}{BD} = \dfrac{AC}{AF} \right.$ $AB,AC$ là hai tiếp tuyến của $\left. (O)\Rightarrow AB = AC \right.$, kết hợp với $\dfrac{EA}{BA} = \dfrac{BA}{FA}$ và $\left. \dfrac{ED}{BD} = \dfrac{AC}{AF}\Rightarrow\dfrac{EA}{BA} = \dfrac{ED}{BD}\Rightarrow\dfrac{EA}{ED} = \dfrac{BA}{BD} \right.$.

c) Chứng minh $\left. \angle GBF = \angle GFB\Rightarrow\Delta GBF \right.$ cân $\left. \Rightarrow GB = GF \right.$.

d) $\Delta AEM$~$\left. \Delta CDM\Rightarrow\dfrac{MA}{MC} = \dfrac{ME}{MD} \right.$
$\Rightarrow$ MA.MD $=$ ME.MC
$\Delta BEM$~$\left. \Delta CNM\Rightarrow\dfrac{ME}{MN} = \dfrac{MB}{MC}\Rightarrow ME \cdot MC = MB \cdot MN \right.$

$\left. \Delta MBA \backsim \Delta MDN\Rightarrow\angle BAM = \angle DNM \right.$, kết hợp $\left. \Rightarrow\angle BND = \angle BNF \right.$

Giải chi tiết

a) $\angle ACE = \angle ADE$ (hai góc nội tiếp đường tròn $\left( O' \right)$ cùng chắn $AE$)
$\angle ACE = \angle CFE$ (góc nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây của $(O)$ cùng chắn cung CE) $\left. \Rightarrow\angle ADE = \angle CFE \right.$

Tứ giác $DEFG$ có $\left. \angle ADE = \angle GFE\Rightarrow \right.$ tứ giác $DEFG$ nội tiếp

b) $\Delta ABE$ và $\Delta AFB$ có $A$ chung. $\angle ABE = \angle AFB$ (góc nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây của $(O)$ cùng chắn $\left. BE)\Rightarrow\Delta ABE \backsim \Delta AFB\Rightarrow\dfrac{EA}{BA} = \dfrac{BA}{FA} \right.$

Tứ giác $AEDC$ nội tiếp $\left. \left( O' \right)\Rightarrow\angle EDB = \angle EAC,\angle EBC = \angle EFC \right.$ (hai góc nội tiếp đường tròn $(O)$ cùng chắn $\left. CE\Rightarrow\Delta BED \backsim \Delta FCA\Rightarrow\dfrac{ED}{BD} = \dfrac{AC}{AF} \right.$ $AB,AC$ là hai tiếp tuyến của $\left. (O)\Rightarrow AB = AC \right.$, kết hợp với $\dfrac{EA}{BA} = \dfrac{BA}{FA}$ và $\left. \dfrac{ED}{BD} = \dfrac{AC}{AF}\Rightarrow\dfrac{EA}{BA} = \dfrac{ED}{BD}\Rightarrow\dfrac{EA}{ED} = \dfrac{BA}{BD} \right.$.

c) $\angle EAD = \angle ECD$ (hai góc nội tiếp $\left( O' \right)$ cùng chắn $DE$), $\angle ECB = \angle EFB$ (hai góc nội tiếp $(O)$ cùng chắn $\left. BE)\Rightarrow\angle EAD = \angle EFB\Rightarrow AG//BF\Rightarrow\angle AGC = \angle BFC \right.$ (hai góc đồng vị) và $\angle AGB = \angle FBG$ (so le trong)
$\angle ABC = \angle BFC$ (góc nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây của $\left( \text{O} \right)$ cùng chắn $BC$), kết hợp với $\left. \angle AGC = \angle BFC\Rightarrow\angle ABC = \angle AGC\Rightarrow \right.$ tứ giác $ABGC$ nội tiếp

Tứ giác $ABGC$ nội tiếp $\left. \Rightarrow\angle AGB = \angle ACB \right.$. Có $\left. AB = AC\Rightarrow\angle ABC = \angle ACB \right.$.

Vậy $\left. \angle GBF = \angle GFB\Rightarrow\Delta GBF \right.$ cân $\left. \Rightarrow GB = GF \right.$.

d) Tứ giác $ABGC$ nội tiếp $\left. \Rightarrow\angle BAG = \angle BCF \right.$ mà $\angle BCF = \angle BNF$ (nội tiếp $(O)$ cùng chắn $BF$) nên $\angle BAD = \angle BNF(1)$
$\Delta AEM$ và $\Delta CDM$ có $\angle AME = \angle CMD$ (đối đỉnh) và $\angle EAM = \angle DCM$ (nội tiếp (O') cùng chắn $\left. ED)\Rightarrow\Delta AEM \right.$~$\left. \Delta CDM\Rightarrow\dfrac{MA}{MC} = \dfrac{ME}{MD} \right.$
$\Rightarrow$ MA.MD $=$ ME.MC
$\Delta BEM$ và $\Delta CNM$ có $\angle EMB = \angle NMC$ (đối đỉnh) và $\angle EBM = \angle NCM$ (nội tiếp $\left( \text{O} \right)$ cùng chắn $\left. EN)\Rightarrow\Delta BEM \right.$~$\left. \Delta CNM\Rightarrow\dfrac{ME}{MN} = \dfrac{MB}{MC}\Rightarrow ME \cdot MC = MB \cdot MN \right.$ mà $\left. MA \cdot MD = ME \cdot MC\Rightarrow MB \cdot MN = MA \cdot MD\Rightarrow\dfrac{MB}{MA} = \dfrac{MD}{MN} \right.$.
$\Delta MBA$ và $\Delta MDN$ có $\angle AMB = \angle NMD$ (đối đỉnh) và $\left. \dfrac{MB}{MA} = \dfrac{MD}{MN}\Rightarrow \right.$ $\left. \Delta MBA \backsim \Delta MDN\Rightarrow\angle BAM = \angle DNM \right.$, kết hợp với (1) $\left. \Rightarrow\angle BND = \angle BNF \right.$ $\left. \Rightarrow N,D,F \right.$ thẳng hàng.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link