a) Tìm tất cả các số nguyên $x,y$ thỏa mãn $x^{2} + xy - x - 3y = 7$.b) Với mỗi số thực $a$, gọi

Câu hỏi số 798820:

Vận dụng

a) Tìm tất cả các số nguyên $x,y$ thỏa mãn $x^{2} + xy - x - 3y = 7$.
b) Với mỗi số thực $a$, gọi $\lbrack a\rbrack$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $a$. Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $\left\lbrack \dfrac{n^{4} - 4n^{3} + 5n^{2} - 1}{4n^{2}} \right\rbrack$ là một số nguyên tố.
c) Nhân kỷ niệm 60 năm ngày thành lập, Trường trung học phổ thông $X$ đã chọn ra 300 học sinh tham gia cuộc diễu hành. Mỗi em tham gia diễu hành được gắn một số nguyên dương phân biệt từ 1 đến 300 . Ban tổ chức xếp ngẫu nhiên 300 em học sinh đó thành bốn khối đội hình. Chứng minh rằng luôn có ba em học sinh thuộc cùng một khối đội hình mà ba số $x,y,z$ được gắn trền các em học sinh đó thỏa mãn $x$ chia hết cho $y$ và $y$ chia hết cho $z$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:798820

Phương pháp giải

b) Ta có $A = \dfrac{n^{4} - 4n^{3} + 5n^{2} - 1}{4n^{2}} = \dfrac{n^{2}}{4} - n + \dfrac{5}{4} - \dfrac{1}{4n^{2}}$.

Trường hợp 1: Xét $n = 2k,k \in {\mathbb{N}}^{\text{*}}$

Trường hợp 2: Xét $n = 2k + 1,k \in {\mathbb{N}}$

c) Gọi $\text{Ω} = \left\{ {1;2;3;4;\ldots;300} \right\}$ và $A = \left\{ {2^{\circ};2^{1};2^{2};\ldots;2^{8}} \right\} \subset \text{Ω}$ (Tập $A$ có 9 phần tử)

Ta có 9 chia 4 được 2 dư 1 nên theo nguyên lý dirichlet khi chia $\text{Ω}$ thành 4 tập con, tồn tại ít nhất một tập con chứa ít nhất 3 phần tử của tập $A$.

Giải chi tiết

a) Ta có $\left. x^{2} + xy - x - 3y = 7\Leftrightarrow\left( {x - 3} \right)\left( {x + y + 2} \right) = 1\left( \text{*} \right) \right.$
Do $x,y$ nguyên nên từ $(*)$ ta có $\left\{ \begin{array}{l} {x - 3 = 1} \\ {x + y + 2 = 1} \end{array}\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {x = 4} \\ {y = - 5} \end{array} \right. \right.$ (thỏa mãn)
Hoặc $\left\{ \begin{array}{l} {x - 3 = - 1} \\ {x + y + 2 = - 1} \end{array}\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {x = 2} \\ {y = - 5} \end{array} \right. \right.$ (thỏa mãn).
Vậy phương trình có hai nghiệm nguyên là $\left( {x;y} \right) = \left( {4; - 5} \right),\left( {x;y} \right) = \left( {2; - 5} \right)$.

b) Ta có $A = \dfrac{n^{4} - 4n^{3} + 5n^{2} - 1}{4n^{2}} = \dfrac{n^{2}}{4} - n + \dfrac{5}{4} - \dfrac{1}{4n^{2}}$.

Trường hợp 1: Xét $n = 2k,k \in {\mathbb{N}}^{\text{*}}$

Ta có $A = {(k - 1)}^{2} + \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{16k^{2}}$.
Vì $0 < \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{16k^{2}} < 1,\forall k \in {\mathbb{N}}^{\text{*}}$, nên $\lbrack A\rbrack = {(k - 1)}^{2}$ không phải là số nguyên tố (loại).

Trường hợp 2: Xét $n = 2k + 1,k \in {\mathbb{N}}$

Ta có $A = k^{2} - k + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4{(2k + 1)}^{2}} = k\left( {k - 1} \right) + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4{(2k + 1)}^{2}}$
Vì $0 < \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4{(2k + 1)}^{2}} < 1,\forall k \in {\mathbb{N}}$, nên $\lbrack A\rbrack = k\left( {k - 1} \right)$
Nên để $\lbrack A\rbrack$ là số nguyên tố $\left. \Leftrightarrow k\left( {k - 1} \right) = 2.1\Rightarrow k = 2\Rightarrow n = 5 \right.$ (thỏa mãn).

c) Gọi $\text{Ω} = \left\{ {1;2;3;4;\ldots;300} \right\}$ và $A = \left\{ {2^{\circ};2^{1};2^{2};\ldots;2^{8}} \right\} \subset \text{Ω}$ (Tập $A$ có 9 phần tử)

Ta có 9 chia 4 được 2 dư 1 nên theo nguyên lý dirichlet khi chia $\text{Ω}$ thành 4 tập con, tồn tại ít nhất một tập con chứa ít nhất 3 phần tử của tập $A$.
Gọi ba phần tử đó là $x = 2^{a},y = 2^{b},z = 2^{c}$ với $a > b > c$
Khi đó ta thấy ba số thỏa mãn điều kiện $2^{a}:2^{b}$ và $2^{b}:2^{c}$
Từ đó suy ra $x:y$ và $y:z$ (đpcm).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link