a) Giải phương trình: $\dfrac{\left( {x - 1} \right)\left( {x^{2} - 5x + 6} \right)}{\sqrt{2x - 1} + 1} = x^{2} -

Câu hỏi số 798819:

Vận dụng

a) Giải phương trình: $\dfrac{\left( {x - 1} \right)\left( {x^{2} - 5x + 6} \right)}{\sqrt{2x - 1} + 1} = x^{2} - 4x + 3$.
b) Cho $P(x)$ và $Q(x)$ là hai đa thức với các hệ số nguyên thỏa mãn đa thức $x \cdot P\left( x^{4} \right) + Q\left( x^{2} \right)$ chia hết cho đa thức $x^{2} + 2$. Chứng minh $5.P(2028) + 6.Q(2022)$ chia hết cho 2024 .

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:798819

Phương pháp giải

a) Điều kiện: $x \geq \dfrac{1}{2}$.
Phương trình đã cho tương đương với phương trình

$\left( {x^{2} - 4x + 3} \right)\left( {\sqrt{2x - 1} + 1} \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {x^{2} - 5x + 6} \right)$

$\left. \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x^{2} - 4x + 3 = 0} \\ {\sqrt{2x - 1} - x + 3 = 0} \end{array} \right. \right.$

Giải chi tiết

a) Điều kiện: $x \geq \dfrac{1}{2}$.
Phương trình đã cho tương đương với phương trình

$\left( {x^{2} - 4x + 3} \right)\left( {\sqrt{2x - 1} + 1} \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {x^{2} - 5x + 6} \right)$

$\left. ~\Leftrightarrow\left( {x^{2} - 4x + 3} \right)\left( {\sqrt{2x - 1} + 1} \right) = \left( {x^{2} - 4x + 3} \right)\left( {x - 2} \right) \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow\left( {x^{2} - 4x + 3} \right)\left( {\sqrt{2x - 1} - x + 3} \right) = 0 \right.$

$\left. \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x^{2} - 4x + 3 = 0} \\ {\sqrt{2x - 1} - x + 3 = 0} \end{array} \right. \right.$

+) $\left. x^{2} - 4x + 3 = 0\Leftrightarrow\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) = 0 \right.$

$\left. \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x = 1} \\ {x = 3} \end{array} \right.\text{~(tm)} \right.$

+) $\left. \sqrt{2x - 1} - x + 3 = 0\Leftrightarrow\sqrt{2x - 1} = x - 3 \right.$

$\left. \Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {2x - 1 = {(x - 3)}^{2}} \\ {x \geq 3} \end{array}\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {x^{2} - 8x + 10 = 0} \\ {x \geq 3} \end{array} \right. \right. \right.$

$\left. \Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} \left\lbrack \begin{array}{l} {x = 4 - \sqrt{6}} \\ {x = 4 + \sqrt{6}} \end{array}\Leftrightarrow x = 4 + \sqrt{6}. \right. \\ {x \geq 3} \end{array} \right. \right.$

Vậy tập hợp nghiệm của phương trình đã cho là $\left\{ {1;3;4 + \sqrt{6}} \right\}$.

b) Xét đa thức $R(x) = a_{n}x^{n} + a_{n - 1}x^{n - 1} + \ldots + a_{1}x + a_{0}$ với $a_{0},a_{1},\ldots,a_{n} \in {\mathbb{Z}}$.
Ta có $R(A) - R(B) = \left\lbrack {a_{n}\left( {A^{n} - B^{n}} \right) + a_{n - 1}\left( {A^{n - 1} - B^{n - 1}} \right) + \ldots + a_{1}\left( {A - B} \right)} \right\rbrack \vdots \left( {A - B} \right)$ vì $\left( {A^{n} - B^{n}} \right) \vdots \left( {A - B} \right),\forall n \in {\mathbb{N}}$
Do đó:
$\left. \left\lbrack {P\left( x^{4} \right) - P(4)} \right\rbrack:\left( {x^{4} - 4} \right)\Rightarrow\left\lbrack {P\left( x^{4} \right) - P(4)} \right\rbrack:\left( {x^{2} + 2} \right) \right.$ vì $\left( {x^{4} - 4} \right) = \left( {x^{2} + 2} \right) \cdot \left( {x^{2} - 2} \right)$ và $\left\lbrack {Q\left( x^{2} \right) - Q\left( {- 2} \right)} \right\rbrack:\left( {x^{2} + 2} \right)$

Mặt khác, ta có:

$x \cdot P\left( x^{4} \right) + Q\left( x^{2} \right)$

$= x \cdot \left\lbrack {P\left( x^{4} \right) - P(4)} \right\rbrack + \left\lbrack {Q\left( x^{2} \right) - Q\left( {- 2} \right)} \right\rbrack + P(4) \cdot x + Q\left( {- 2} \right)$

Ta có: $P\left( x^{4} \right) - P(4),Q\left( x^{2} \right) - Q\left( {- 2} \right)$ và $x.P\left( x^{4} \right) + Q\left( x^{2} \right)$ chia hết cho đa thức $x^{2} + 2$ nên $\left\{ \begin{array}{l} {P(4) = 0} \\ {Q\left( {- 2} \right) = 0} \end{array} \right.$
Suy ra $\left\{ \begin{array}{l} {P(x) \vdots \left( {x - 4} \right)} \\ {Q(x) \vdots \left( {x + 2} \right)} \end{array} \right.$

$\left. \Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} {P(2028) \vdots 2024} \\ {Q(2022) \vdots 2024} \end{array} \right. \right.$

$\left. \Rightarrow 5.P(2028) + 6.Q(2022) \right.$ chia hết cho 2024.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link