a) Giải phương trình: $\dfrac{\left( {x - 1} \right)\left( {x^{2} - 5x + 6} \right)}{\sqrt{2x - 1} + 1} = x^{2} -

Câu hỏi số 798819:

Vận dụng

a) Giải phương trình: $\dfrac{\left( {x - 1} \right)\left( {x^{2} - 5x + 6} \right)}{\sqrt{2x - 1} + 1} = x^{2} - 4x + 3$.
b) Cho $P(x)$ và $Q(x)$ là hai đa thức với các hệ số nguyên thỏa mãn đa thức $x \cdot P\left( x^{4} \right) + Q\left( x^{2} \right)$ chia hết cho đa thức $x^{2} + 2$. Chứng minh $5.P(2028) + 6.Q(2022)$ chia hết cho 2024 .

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:798819

Phương pháp giải

a) Điều kiện: $x \geq \dfrac{1}{2}$.
Phương trình đã cho tương đương với phương trình

$\left( {x^{2} - 4x + 3} \right)\left( {\sqrt{2x - 1} + 1} \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {x^{2} - 5x + 6} \right)$

$\left. \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x^{2} - 4x + 3 = 0} \\ {\sqrt{2x - 1} - x + 3 = 0} \end{array} \right. \right.$

Giải chi tiết

a) Điều kiện: $x \geq \dfrac{1}{2}$.
Phương trình đã cho tương đương với phương trình

$\left( {x^{2} - 4x + 3} \right)\left( {\sqrt{2x - 1} + 1} \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {x^{2} - 5x + 6} \right)$

$\left. ~\Leftrightarrow\left( {x^{2} - 4x + 3} \right)\left( {\sqrt{2x - 1} + 1} \right) = \left( {x^{2} - 4x + 3} \right)\left( {x - 2} \right) \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow\left( {x^{2} - 4x + 3} \right)\left( {\sqrt{2x - 1} - x + 3} \right) = 0 \right.$

$\left. \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x^{2} - 4x + 3 = 0} \\ {\sqrt{2x - 1} - x + 3 = 0} \end{array} \right. \right.$

+) $\left. x^{2} - 4x + 3 = 0\Leftrightarrow\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right) = 0 \right.$

$\left. \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x = 1} \\ {x = 3} \end{array} \right.\text{~(tm)} \right.$

+) $\left. \sqrt{2x - 1} - x + 3 = 0\Leftrightarrow\sqrt{2x - 1} = x - 3 \right.$

$\left. \Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {2x - 1 = {(x - 3)}^{2}} \\ {x \geq 3} \end{array}\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {x^{2} - 8x + 10 = 0} \\ {x \geq 3} \end{array} \right. \right. \right.$

$\left. \Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} \left\lbrack \begin{array}{l} {x = 4 - \sqrt{6}} \\ {x = 4 + \sqrt{6}} \end{array}\Leftrightarrow x = 4 + \sqrt{6}. \right. \\ {x \geq 3} \end{array} \right. \right.$

Vậy tập hợp nghiệm của phương trình đã cho là $\left\{ {1;3;4 + \sqrt{6}} \right\}$.

b) Xét đa thức $R(x) = a_{n}x^{n} + a_{n - 1}x^{n - 1} + \ldots + a_{1}x + a_{0}$ với $a_{0},a_{1},\ldots,a_{n} \in {\mathbb{Z}}$.
Ta có $R(A) - R(B) = \left\lbrack {a_{n}\left( {A^{n} - B^{n}} \right) + a_{n - 1}\left( {A^{n - 1} - B^{n - 1}} \right) + \ldots + a_{1}\left( {A - B} \right)} \right\rbrack \vdots \left( {A - B} \right)$ vì $\left( {A^{n} - B^{n}} \right) \vdots \left( {A - B} \right),\forall n \in {\mathbb{N}}$
Do đó:
$\left. \left\lbrack {P\left( x^{4} \right) - P(4)} \right\rbrack:\left( {x^{4} - 4} \right)\Rightarrow\left\lbrack {P\left( x^{4} \right) - P(4)} \right\rbrack:\left( {x^{2} + 2} \right) \right.$ vì $\left( {x^{4} - 4} \right) = \left( {x^{2} + 2} \right) \cdot \left( {x^{2} - 2} \right)$ và $\left\lbrack {Q\left( x^{2} \right) - Q\left( {- 2} \right)} \right\rbrack:\left( {x^{2} + 2} \right)$

Mặt khác, ta có:

$x \cdot P\left( x^{4} \right) + Q\left( x^{2} \right)$

$= x \cdot \left\lbrack {P\left( x^{4} \right) - P(4)} \right\rbrack + \left\lbrack {Q\left( x^{2} \right) - Q\left( {- 2} \right)} \right\rbrack + P(4) \cdot x + Q\left( {- 2} \right)$

Ta có: $P\left( x^{4} \right) - P(4),Q\left( x^{2} \right) - Q\left( {- 2} \right)$ và $x.P\left( x^{4} \right) + Q\left( x^{2} \right)$ chia hết cho đa thức $x^{2} + 2$ nên $\left\{ \begin{array}{l} {P(4) = 0} \\ {Q\left( {- 2} \right) = 0} \end{array} \right.$
Suy ra $\left\{ \begin{array}{l} {P(x) \vdots \left( {x - 4} \right)} \\ {Q(x) \vdots \left( {x + 2} \right)} \end{array} \right.$

$\left. \Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} {P(2028) \vdots 2024} \\ {Q(2022) \vdots 2024} \end{array} \right. \right.$

$\left. \Rightarrow 5.P(2028) + 6.Q(2022) \right.$ chia hết cho 2024.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link