Cho các số dương $x,y$ thỏa mãn $xy \geq 1$.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $K = \dfrac{x}{1 +

Câu hỏi số 798822:

Vận dụng

Cho các số dương $x,y$ thỏa mãn $xy \geq 1$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $K = \dfrac{x}{1 + y} + \dfrac{y}{1 + x} + \dfrac{1}{1 + xy}$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:798822

Phương pháp giải

Ta có:

$K~ = \left( {\dfrac{x}{1 + y} + 1} \right) + \left( {\dfrac{y}{1 + x} + 1} \right) + \dfrac{1}{1 + xy} - 2$$~ = \left( {x + y + 1} \right)\left( {\dfrac{1}{1 + x} + \dfrac{1}{1 + y}} \right) + \dfrac{1}{1 + xy} - 2$

Mặt khác với mọi $a,b$ dương ta có: $\dfrac{1}{1 + a} + \dfrac{1}{1 + b} \geq \dfrac{4}{a + b + 2}$.

Dấu bằng xảy ra $\left. \Leftrightarrow a = b \right.$.

Khi đó ta có $\dfrac{1}{1 + x} + \dfrac{1}{1 + y} \geq \dfrac{4}{x + y + 2}$.

Dấu bằng xảy ra $\left. \Leftrightarrow x = y \right.$.
Do đó ta được $K \geq \dfrac{4\left( {x + y + 1} \right)}{x + y + 2} + \dfrac{1}{xy + 1} - 2$$= 2 + \dfrac{1}{xy + 1} - \dfrac{4}{x + y + 2}.$

Đặt $t = \sqrt{xy},t \geq 1$ và có $x + y \geq 2\sqrt{xy}$

Giải chi tiết

Ta có:

$K~ = \left( {\dfrac{x}{1 + y} + 1} \right) + \left( {\dfrac{y}{1 + x} + 1} \right) + \dfrac{1}{1 + xy} - 2$

$~ = \left( {x + y + 1} \right)\left( {\dfrac{1}{1 + x} + \dfrac{1}{1 + y}} \right) + \dfrac{1}{1 + xy} - 2$

Mặt khác với mọi $a,b$ dương ta có: $\dfrac{1}{1 + a} + \dfrac{1}{1 + b} \geq \dfrac{4}{a + b + 2}$.

Dấu bằng xảy ra $\left. \Leftrightarrow a = b \right.$.

Khi đó ta có $\dfrac{1}{1 + x} + \dfrac{1}{1 + y} \geq \dfrac{4}{x + y + 2}$.

Dấu bằng xảy ra $\left. \Leftrightarrow x = y \right.$.
Do đó ta được $K \geq \dfrac{4\left( {x + y + 1} \right)}{x + y + 2} + \dfrac{1}{xy + 1} - 2 = 4\left( {1 - \dfrac{1}{x + y + 2}} \right) + \dfrac{1}{xy + 1} - 2$

$= 2 + \dfrac{1}{xy + 1} - \dfrac{4}{x + y + 2}.$

Đặt $t = \sqrt{xy},t \geq 1$ và có $x + y \geq 2\sqrt{xy}$ ta được

$K \geq 2 + \dfrac{1}{t^{2} + 1} - \dfrac{2}{t + 1} = \dfrac{3}{2} + \left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{t^{2} + 1} - \dfrac{2}{t + 1}} \right)\left( {\forall t \geq 1} \right)$

$~ = \dfrac{3}{2} + \dfrac{{(t - 1)}^{3}}{2\left( {t + 1} \right)\left( {t^{2} + 1} \right)} \geq \dfrac{3}{2}$

$K = \dfrac{3}{2}\text{~khi~}t = 1,$ ta được $x = y = 1.$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $K$ bằng $\dfrac{3}{2}$ khi $x = y = 1$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link