Cho các số dương $x,y$ thỏa mãn $xy \geq 1$.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $K = \dfrac{x}{1 +

Câu hỏi số 798822:

Vận dụng

Cho các số dương $x,y$ thỏa mãn $xy \geq 1$.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $K = \dfrac{x}{1 + y} + \dfrac{y}{1 + x} + \dfrac{1}{1 + xy}$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:798822

Phương pháp giải

Ta có:

$K~ = \left( {\dfrac{x}{1 + y} + 1} \right) + \left( {\dfrac{y}{1 + x} + 1} \right) + \dfrac{1}{1 + xy} - 2$$~ = \left( {x + y + 1} \right)\left( {\dfrac{1}{1 + x} + \dfrac{1}{1 + y}} \right) + \dfrac{1}{1 + xy} - 2$

Mặt khác với mọi $a,b$ dương ta có: $\dfrac{1}{1 + a} + \dfrac{1}{1 + b} \geq \dfrac{4}{a + b + 2}$.

Dấu bằng xảy ra $\left. \Leftrightarrow a = b \right.$.

Khi đó ta có $\dfrac{1}{1 + x} + \dfrac{1}{1 + y} \geq \dfrac{4}{x + y + 2}$.

Dấu bằng xảy ra $\left. \Leftrightarrow x = y \right.$.
Do đó ta được $K \geq \dfrac{4\left( {x + y + 1} \right)}{x + y + 2} + \dfrac{1}{xy + 1} - 2$$= 2 + \dfrac{1}{xy + 1} - \dfrac{4}{x + y + 2}.$

Đặt $t = \sqrt{xy},t \geq 1$ và có $x + y \geq 2\sqrt{xy}$

Giải chi tiết

Ta có:

$K~ = \left( {\dfrac{x}{1 + y} + 1} \right) + \left( {\dfrac{y}{1 + x} + 1} \right) + \dfrac{1}{1 + xy} - 2$

$~ = \left( {x + y + 1} \right)\left( {\dfrac{1}{1 + x} + \dfrac{1}{1 + y}} \right) + \dfrac{1}{1 + xy} - 2$

Mặt khác với mọi $a,b$ dương ta có: $\dfrac{1}{1 + a} + \dfrac{1}{1 + b} \geq \dfrac{4}{a + b + 2}$.

Dấu bằng xảy ra $\left. \Leftrightarrow a = b \right.$.

Khi đó ta có $\dfrac{1}{1 + x} + \dfrac{1}{1 + y} \geq \dfrac{4}{x + y + 2}$.

Dấu bằng xảy ra $\left. \Leftrightarrow x = y \right.$.
Do đó ta được $K \geq \dfrac{4\left( {x + y + 1} \right)}{x + y + 2} + \dfrac{1}{xy + 1} - 2 = 4\left( {1 - \dfrac{1}{x + y + 2}} \right) + \dfrac{1}{xy + 1} - 2$

$= 2 + \dfrac{1}{xy + 1} - \dfrac{4}{x + y + 2}.$

Đặt $t = \sqrt{xy},t \geq 1$ và có $x + y \geq 2\sqrt{xy}$ ta được

$K \geq 2 + \dfrac{1}{t^{2} + 1} - \dfrac{2}{t + 1} = \dfrac{3}{2} + \left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{t^{2} + 1} - \dfrac{2}{t + 1}} \right)\left( {\forall t \geq 1} \right)$

$~ = \dfrac{3}{2} + \dfrac{{(t - 1)}^{3}}{2\left( {t + 1} \right)\left( {t^{2} + 1} \right)} \geq \dfrac{3}{2}$

$K = \dfrac{3}{2}\text{~khi~}t = 1,$ ta được $x = y = 1.$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $K$ bằng $\dfrac{3}{2}$ khi $x = y = 1$.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link