Cho $M = \left( {\dfrac{\sqrt{a} + 2}{\sqrt{a} + 1} - \dfrac{a - \sqrt{a} - 3}{a - \sqrt{a} - 2}} \right):\left(

Câu hỏi số 799018:

Vận dụng

Cho $M = \left( {\dfrac{\sqrt{a} + 2}{\sqrt{a} + 1} - \dfrac{a - \sqrt{a} - 3}{a - \sqrt{a} - 2}} \right):\left( {\dfrac{a - \sqrt{a}}{a - \sqrt{a} - 2} + \dfrac{2}{\sqrt{a} - 2}} \right)$ với $a \geq 0,a \neq 4$.
a) Rút gọn biểu thức $M$.
b) Chứng minh rằng $M \leq \dfrac{1}{7}$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:799018

Phương pháp giải

a) Quy đồng và rút gọn.

b) Ta chứng minh bằng phương pháp biến đổi tương đương.

Giải chi tiết

a) ĐK: $a \geq 0,a \neq 4$

$M = \left( {\dfrac{\sqrt{a} + 2}{\sqrt{a} + 1} - \dfrac{a - \sqrt{a} - 3}{a - \sqrt{a} - 2}} \right):\left( {\dfrac{a - \sqrt{a}}{a - \sqrt{a} - 2} + \dfrac{2}{\sqrt{a} - 2}} \right)$

$M = \dfrac{\left( {\sqrt{a} + 2} \right)\left( {\sqrt{a} - 2} \right) - \left( {a - \sqrt{a} - 3} \right)}{\left( {\sqrt{a} + 1} \right)\left( {\sqrt{a} - 2} \right)}:\dfrac{a - \sqrt{a} + 2\left( {\sqrt{a} + 1} \right)}{\left( {\sqrt{a} + 1} \right)\left( {\sqrt{a} - 2} \right)}$

$M = \dfrac{a - 4 - a + \sqrt{a} + 3}{\left( {\sqrt{a} + 1} \right)\left( {\sqrt{a} - 2} \right)}:\dfrac{a - \sqrt{a} + 2\sqrt{a} + 2}{\left( {\sqrt{a} + 1} \right)\left( {\sqrt{a} - 2} \right)}$

$M = \dfrac{\sqrt{a} - 1}{\left( {\sqrt{a} + 1} \right)\left( {\sqrt{a} - 2} \right)} \cdot \dfrac{\left( {\sqrt{a} + 1} \right)\left( {\sqrt{a} - 2} \right)}{a + \sqrt{a} + 2}$

$M = \dfrac{\sqrt{a} - 1}{a + \sqrt{a} + 2}$

b) Ta chứng minh bằng phương pháp biến đổi tương đương

$\dfrac{\sqrt{a} - 1}{a + \sqrt{a} + 2} \leq \dfrac{1}{7}$

$\left. \Leftrightarrow\dfrac{1}{7} - \dfrac{\sqrt{a} - 1}{a + \sqrt{a} + 2} \geq 0 \right.$

$\left. \Leftrightarrow\dfrac{a + \sqrt{a} + 2 - 7\sqrt{a} + 7}{7\left( {a + \sqrt{a} + 2} \right)} \geq 0 \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow\dfrac{a - 6\sqrt{a} + 9}{7\left( {a + \sqrt{a} + 2} \right)} \geq 0 \right.$

$\left. ~\Leftrightarrow\dfrac{{(\sqrt{a} - 3)}^{2}}{7\left( {a + \sqrt{a} + 2} \right)} \geq 0\ \right.$ (luôn đúng với mọi $a \geq 0,a \neq 4$)

Vậy $M \leq \dfrac{1}{7}$. Dấu "=" xảy ra khi $a = 9$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link