Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn $\left( {AB < AC} \right)$, nội tiếp đường tròn $(O)$. Đường cao
Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn $\left( {AB < AC} \right)$, nội tiếp đường tròn $(O)$. Đường cao $AD$ của tam giác $ABC$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm $E$ ($E$ khác $A$). Gọi $K$ là chân đường vuông góc kẻ từ điểm $E$ đến đường thẳng $AB$
a) Chứng minh bốn điểm $E,\,\, D,\,\, B,\,\, K$ cùng thuộc một đường tròn.
b) Đường thẳng $AO$ cắt đường thẳng $BC$ tại điểm $S$. Chứng minh $EA$ là tia phân giác của góc $CEK$ và $AB.AC = AE.AS$
c) Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $ABC$ và $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$. Chứng minh đường thẳng $SI$ vuông góc với đường thẳng $HK$
Quảng cáo
a) Chứng minh tam giác $BKE$ vuông tại $K$ và tam giác $BDE$ vuông tại $D$
Vậy $B,\,\, K,\,\, E,\,\, D$ cùng thuộc đường tròn đường kính $BE$
b) Kẻ đường kính $AF$ của đường tròn
Khi đó $A,\,\, O,\,\, S,\,\, F$ thẳng hàng
Chứng minh $\Delta ABE \backsim \Delta ASC\,\,\left( {g.g} \right)$
c) Gọi $G$ là giao của $CH$ và $AB$
Khi đó $CG\bot AB$
Chứng minh $\Delta DKE \backsim \Delta SAB\,\,\left( {g.g} \right)$
Tiếp tục chứng minh $\Delta EKH \backsim \Delta BIS\,\,\left( {c.g.c} \right)$
Do đó $\angle EKH = \angle BIS$
Mà $\angle EKH + \angle IKH = \angle IKE = 90{^\circ}$ nên $\angle BIS + \angle IKH = 90{^\circ}$
Suy ra $KH\bot IS$ (đpcm)
a) Tam giác $BKE$ vuông tại $K$ (do $EK\bot AB$)
Do đó $B,\,\, K,\,\, E$cùng thuộc đường tròn đường kính $BE$ (1)
Tam giác $BDE$ vuông tại $D$ (do $AD\bot BC$)
Do đó $B,\,\, D,\,\, E$ cùng thuộc đường tròn đường kính $BE$ (2)
Từ (1) và (2) ta có $B,\,\, K,\,\, E,\,\, D$ cùng thuộc đường tròn đường kính $BE$
b) Ta có: $\angle ABC + \angle KBD = 180{^\circ}$
mà $\angle DEK + \angle KBD = 180{^\circ}$ (do tứ giác $KBDE$ nội tiếp), $\angle ABC = \angle DEC$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AC)
nên $\angle DEK = \angle DEC$
Suy ra $EA$ là tia phân giác của $\angle CEK$
Kẻ đường kính $AF$ của đường tròn
Khi đó $A,\,\, O,\,\, S,\,\, F$ thẳng hàng
Ta có: $\angle FAC + \angle AFC = 90{^\circ}$ (do tam giác $AFC$ vuông tại $C$)
Mà $\angle ABD + \angle BAD = 90{^\circ},\,\,\angle ABC = \angle AFC$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC) nên $\angle BAD = \angle FAC$
Xét $\Delta ABE$ và $\Delta ASC$ có
$\angle BAE = \angle SAC\,\,\left( {cmt} \right)$
$\angle AEB = \angle ACS$ (cùng chắn cung $AB$)
Do đó $\Delta ABE \backsim \Delta ASC\,\,\left( {g.g} \right)$
Suy ra $\dfrac{AB}{AS} = \dfrac{AE}{AC}$ hay $AB.AC = AS.AE$
c) Gọi $G$ là giao của $CH$ và $AB$
Khi đó $CG\bot AB$
Ta có: $\angle BCG + \angle GBC = 90{^\circ},\,\,\angle BCE + \angle DEC = 90{^\circ},\,\,\angle DEC = \angle GBC$
Nên $\angle BCG = \angle BCE$
Khi đó $\Delta DHC = \Delta DEC\,\,\left( {g.c.g} \right)$ nên $DH = DE$
Ta có: $\angle BAS = \angle BAD + \angle DAS,\,\,\angle DAC = \angle DAS + \angle SAC,\,\angle SAC = \angle BAD$
Do đó $\angle BAS = \angle DAC$
Tứ giác $BDEK$ nội tiếp nên $\angle DKE = \angle DBE$
Mà $\angle DBE = \angle DAC = \angle BAS$ nên $\angle DKE = \angle BAS$
Xét $\Delta DKE$ và $\Delta SAB$ có
$\begin{array}{l} {\angle DKE = \angle BAS} \\ {\angle DEK = \angle ABS} \end{array}$
Do đó $\Delta DKE \backsim \Delta SAB\,\,\left( {g.g} \right)$
Suy ra $\dfrac{KE}{AB} = \dfrac{DE}{SB}$
Mà $AB = 2IB,\,\, DE = \dfrac{1}{2}HE$ nên $\dfrac{KE}{2IB} = \dfrac{HE}{2SB}$ hay $\dfrac{KE}{IB} = \dfrac{HE}{SB}$
Mà $\angle KEH = \angle IBS$ nên $\Delta EKH \backsim \Delta BIS\,\,\left( {c.g.c} \right)$
Do đó $\angle EKH = \angle BIS$
Mà $\angle EKH + \angle IKH = \angle IKE = 90{^\circ}$ nên $\angle BIS + \angle IKH = 90{^\circ}$
Suy ra $KH\bot IS$ (đpcm)
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
