Cho tam giác nhọn $ABC(AB < AC)$ có đường cao $AH$. Kẻ $HD,HE$ lần lượt vuông góc với $AB,AC$ $(D
Cho tam giác nhọn $ABC(AB < AC)$ có đường cao $AH$. Kẻ $HD,HE$ lần lượt vuông góc với $AB,AC$ $(D \in AB,E \in AC)$.
a) Chứng minh $ADHE$ là tứ giác nội tiếp
b) Trên tia đối của tia $DH$ lấy điểm $F(F \neq D)$. Đường thẳng qua $F$ vuông góc với $FB$ cắt đường thẳng $AH$ tại $G$. Kẻ $GI$ vuông góc với $HF(I \in HF)$. Chứng minh $\Delta IFG \backsim \Delta HBG$ và $IF = DH$
c) Tia phân giác của $\angle HEC$ cắt $CH$tại $K$. Kẻ $KM,KN$ lần lượt vuông góc với $EH,EC(M \in EH,N \in EC)$ Hai đoạn thẳng $CM$ và $HN$ cắt nhau tại $T$. Gọi $P$ là giao điểm của $HN$ và $KM,Q$ là giao điểm của $CM$và $KN$. Chứng minh $ET\bot PQ$
Quảng cáo
a) Chứng minh bốn điểm A, D, H, E cùng nằm trên một đường tròn đường kính HA
Vậy ADHE là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh $\Delta IFG \sim \Delta HBG$ (g.g)
$\left. \Rightarrow\dfrac{IF}{HB} = \dfrac{GI}{GH} \right.$ (1)
Chứng minh $\Delta BHD \sim \Delta HAD$ (g.g)
$\left. \Rightarrow\dfrac{DH}{HB} = \dfrac{DA}{AH} \right.$ (2)
Chứng minh $\Delta HDA \sim \Delta HIG$
$\left. \Rightarrow\dfrac{AD}{GI} = \dfrac{AH}{GH}\Rightarrow\dfrac{AD}{AH} = \dfrac{GI}{GH} \right.$
Theo (2), suy ra $\dfrac{GI}{GH} = \dfrac{DH}{HB}$
Mà theo (1), suy ra $\dfrac{GI}{GH} = \dfrac{IF}{HB} = \dfrac{DH}{HB}$
Vậy $IF = DH$ (đpcm)
c) Gọi giao điểm của CM và EP là J, giao điểm của HN và EQ là L
Chứng minh $\Delta NEQ \sim \Delta EHN$ (g.g)
$\left. \Rightarrow\Delta ELN \right.$ vuông tại L $\left. \Rightarrow EL\bot HN\text{~hay~}EQ\bot HN \right.$ tại L
* Tương tự, chứng minh $EP\bot CM$ tại J
$\Rightarrow$ PL và QJ là các đường cao trong $\Delta EPQ$
Mà PL cắt QJ tại T nên T là trực tâm của $\Delta EPQ$
Vậy $ET\bot PQ$ (đpcm).
a) Theo giải thiết:
+ $\left. \angle\ HDA = 90^{\circ}\Rightarrow\Delta HDA \right.$ vuông tại D và nội tiếp đường tròn đường kính HA
+ $\left. \angle\ HEA = 90^{\circ}\Rightarrow\Delta HEA \right.$ vuông tại E và nội tiếp đường tròn đường kính HA
$\Rightarrow$ Bốn điểm A, D, H, E cùng nằm trên một đường tròn
Vậy ADHE là tứ giác nội tiếp.
b)
+ $GF\bot FB$ (gt) nên $\Delta GFB$vuông tại F là nội tiếp đường tròn đường kính GB
+ $HA\bot BC$ (gt) nên $\Delta GHB$ vuông tại H và nội tiếp đường tròn đường kính GB
$\Rightarrow$ Các điểm F, G, H, B cùng nằm trên một đường tròn
$\left. \Rightarrow\angle GFH = \angle GBH \right.$ (đều là góc nội tiếp chắn cung GH)
Xét $\Delta IFG$ và $\Delta HBG$, ta có:
+ $\angle GFI = \angle GBH$ (chứng minh trên)
+ $\angle GIF = \angle GHB = 90^{\circ}$ (gt)
$\left. \Rightarrow\Delta IFG \sim \Delta HBG \right.$ (g.g)
$\left. \Rightarrow\dfrac{IF}{HB} = \dfrac{GI}{GH} \right.$ (1)
Xét $\Delta BHD$ và $\Delta HAD$, ta có:
+ $\angle HDA = \angle HDB = 90^{{^\circ}}$ (gt)
+ $\angle DHB = \angle DAH$ (cùng phụ với $\angle DHA$)
$\left. \Rightarrow\Delta BHD \sim \Delta HAD \right.$ (g.g)
$\left. \Rightarrow\dfrac{DH}{HB} = \dfrac{DA}{AH} \right.$ (2)
Trong $\Delta HGI$ có $AD//GI(A \in GH,D \in HI)$ nên $\Delta HDA \sim \Delta HIG$
$\left. \Rightarrow\dfrac{AD}{GI} = \dfrac{AH}{GH}\Rightarrow\dfrac{AD}{AH} = \dfrac{GI}{GH} \right.$
Theo (2), suy ra $\dfrac{GI}{GH} = \dfrac{DH}{HB}$
Mà theo (1), suy ra $\dfrac{GI}{GH} = \dfrac{IF}{HB} = \dfrac{DH}{HB}$
Vậy $IF = DH$ (đpcm)
c) Gọi giao điểm của CM và EP là J, giao điểm của HN và EQ là L
Theo giả thiết: $\angle MEN = \angle EMK = \angle ENK = 90^{\circ}$
$\left. \Rightarrow MENK \right.$ là hình chữ nhật
Mà EK là đường phân giác của $\angle MEN$ nên MENK là hình vuông
$\Rightarrow$ $KN//EH$
Trong $\Delta CEM$ có$NQ//ME$, ta có: $\dfrac{CN}{CE} = \dfrac{NQ}{EM}$
Trong $\Delta CHE$ có $NK//HE$, ta có: $\dfrac{CN}{CE} = \dfrac{NK}{HE}$
Mà $ME = NE$ (theo tính chất hình vuông) nên ta có $\dfrac{NQ}{NE} = \dfrac{KN}{HE} = \dfrac{EN}{HE}$
Suy ra $\dfrac{NQ}{NE} = \dfrac{NE}{HE}$
Xét $\Delta NEQ$ và $\Delta EHN$ , ta có:
+ $\dfrac{NQ}{NE} = \dfrac{NE}{HE}$ (chứng minh trên)
+ $\angle ENQ = \angle NEH\ = 90^{{^\circ}}$ (gt)
$\left. \Rightarrow\Delta NEQ \sim \Delta EHN \right.$ (g.g)
$\left. \Rightarrow\angle NEQ = \angle EHN \right.$ (hai góc tương ứng)
$\left. \Rightarrow\angle NEQ + \angle ENH = \angle EHN + \angle ENH = 90^{\circ} \right.$
$\left. \Rightarrow\Delta ELN \right.$ vuông tại L $\left. \Rightarrow EL\bot HN\text{~hay~}EQ\bot HN \right.$ tại L
* Tương tự, chứng minh $EP\bot CM$ tại J
$\Rightarrow$ PL và QJ là các đường cao trong $\Delta EPQ$
Mà PL cắt QJ tại T nên T là trực tâm của $\Delta EPQ$
Vậy $ET\bot PQ$ (đpcm).
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
