Trên hình vẽ minh họa, các điểm A, B là vị trí hai hòn đảo và đường thẳng DC là bờ biển.

Câu hỏi số 802363:

Vận dụng

Trên hình vẽ minh họa, các điểm A, B là vị trí hai hòn đảo và đường thẳng DC là bờ biển. Biết rằng khoảng cách giữa hai đảo là $AB = 130~\text{km}$. Khoảng cách từ đảo $A$ đến bờ biển là $AD = 70~\text{km}$, khoảng cách từ đảo $B$ đến bờ biển là $BC = 20~\text{km}$.

A diagram of a triangle

AI-generated content may be incorrect.

Trên bờ biển, người ta thiết kế một trạm trung chuyển $E$. Tàu hàng di chuyển theo hành trình đi từ $A$ đến $E$ rồi đi từ $E$ đến $B$. Vị trí trạm trung chuyển $E$ phải cách vị trí $C$ bao nhiêu ki - lô - mét để hành trình của tàu hàng là ngắn nhất?

(làm tròn kết quả đến hàng phần mười)

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:802363

Phương pháp giải

Đặt $CE = x(0 < x < 120)$

Xác định được hành trình của tàu hàng là: $AE + BE = \sqrt{70^{2} + {(120 - x)}^{2}} + \sqrt{20^{2} + x^{2}}$

Phân tích và tìm GTNN.

Giải chi tiết

Đặt $CE = x(0 < x < 120)$

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác ADE vuông tại D, ta có:

$AE = \sqrt{AD^{2} + AE^{2}} = \sqrt{70^{2} + {(120 - x)}^{2}}$

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác BEC vuông tại C, ta có:

$BE = \sqrt{BC^{2} + CE^{2}} = \sqrt{20^{2} + x^{2}}$

Suy ra hành trình của tàu hàng là: $AE + BE = \sqrt{70^{2} + {(120 - x)}^{2}} + \sqrt{20^{2} + x^{2}}$

CM $\sqrt{{(a + b)}^{2} + {(x + y)}^{2}} \leq \sqrt{a^{2} + x^{2}} + \sqrt{b^{2} + y^{2}}$ với $a,b,x,y > 0$ (*)

${(a + b)}^{2} + {(x + y)}^{2} \leq a^{2} + x^{2} + 2\sqrt{\left( {a^{2} + x^{2}} \right)\left( {b^{2} + y^{2}} \right)} + b^{2} + y^{2}$

$a^{2} + 2ab + b^{2} + x^{2} + 2xy + y^{2} \leq a^{2} + x^{2} + 2\sqrt{\left( {a^{2} + x^{2}} \right)\left( {b^{2} + y^{2}} \right)} + b^{2} + y^{2}$

$2ab + 2xy \leq 2\sqrt{\left( {a^{2} + x^{2}} \right)\left( {b^{2} + y^{2}} \right)}$

${(ab + xy)}^{2} \leq \left( {a^{2} + 2x^{2}} \right)\left( {b^{2} + y^{2}} \right)$

$a^{2}b^{2} + 2abxy + x^{2}y^{2} \leq a^{2}b^{2} + ay^{2} + x^{2}b^{2} + x^{2}y^{2}$

$2abxy \leq ay^{2} + x^{2}b$

$a^{2}y^{2} - 2abxy + xb^{2} \geq 0$

$\left( {ay - x_{b}} \right)^{2} \geq 0$ (đúng). Vậy (*) đúng,

Theo (*) ta có: $\sqrt{70^{2} + {(120 - x)}^{2}} + \sqrt{20^{2} + x^{2}} \geq \sqrt{{(70 + 20)}^{2} + {(120 - x + x)}^{2}} = 150$

Dấu “=” xảy ra khi khi $70x = 20(120 - x)$ hay $x = \dfrac{80}{3} \approx 26,7$

Vậy trạm trung chuyển $E$ phải cách vị trí $C$ $26,7$ km.

Đáp án cần điền là: 26,7

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link