Cho phương trình $x^{2} - (m + 2)x + m + 1 = 0$ với $m$ là tham số. Có bao nhiêu giá trị của $m$ để

Câu hỏi số 802362:

Vận dụng

Cho phương trình $x^{2} - (m + 2)x + m + 1 = 0$ với $m$ là tham số. Có bao nhiêu giá trị của $m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2}$ là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài đường cao ứng với cạnh huyền bằng $\dfrac{1}{\sqrt{5}}$?

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:802362

Phương pháp giải

Gọi tam giác vuông có độ dài cạnh thoả mãn các điều kiện trên là $\Delta ABC$

Theo bài ra, $AB = x_{1};AC = x_{2}$ với $x_{1},x_{2}$ là nghiệm của phương trình $x^{2} - (m + 2)x + m + 1 = 0$

Áp dụng định lý Viète ta có: $x_{1} + x_{2} = m + 2;x_{1}x_{2} = m + 1$

Chứng minh $\Delta BAH \backsim \Delta ACH(~\text{g} \cdot ~\text{g})$

Suy ra $\dfrac{BA}{AH} = \dfrac{AC}{CH}$.

Áp dụng định lý Pythagore với $\Delta AHC$ vuông tại $H$, ta có: $CH = \sqrt{AC^{2} - AH^{2}}$

Suy ra $\dfrac{BA}{AH} = \dfrac{AC}{\sqrt{AC^{2} - AH^{2}}}$

$\dfrac{x_{1}}{\dfrac{1}{\sqrt{5}}} = \dfrac{x_{2}}{\sqrt{x_{2}^{2} - \left( \dfrac{1}{\sqrt{5}} \right)^{2}}}$

Giải chi tiết

Gọi tam giác vuông có độ dài cạnh thoả mãn các điều kiện trên là $\Delta ABC$

Theo bài ra, $AB = x_{1};AC = x_{2}$ với $x_{1},x_{2}$ là nghiệm của phương trình $x^{2} - (m + 2)x + m + 1 = 0$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2}$, ta có: ${(m + 2)}^{2} - 4 \cdot (m + 1) > 0$

$m^{2} + 4m + 4 - 4m - 4 > 0$

$m^{2} > 0$

Suy ta $m \neq 0$.

Áp dụng định lý Viète ta có: $x_{1} + x_{2} = m + 2;x_{1}x_{2} = m + 1$

Xét $\Delta BAH$ và $\Delta ACH$, ta có:

$\angle AHB = \angle AHC = 90{^\circ}$ (gt)

$\angle ABH = \angle HAC$ (vùng phụ với $\angle BAH$)

Suy ra $\Delta BAH \backsim \Delta ACH(~\text{g} \cdot ~\text{g})$

Suy ra $\dfrac{BA}{AH} = \dfrac{AC}{CH}$.

Áp dụng định lý Pythagore với $\Delta AHC$ vuông tại $H$, ta có: $CH = \sqrt{AC^{2} - AH^{2}}$

Suy ra $\dfrac{BA}{AH} = \dfrac{AC}{\sqrt{AC^{2} - AH^{2}}}$

$\dfrac{x_{1}}{\dfrac{1}{\sqrt{5}}} = \dfrac{x_{2}}{\sqrt{x_{2}^{2} - \left( \dfrac{1}{\sqrt{5}} \right)^{2}}}$

$x_{1}\sqrt{5} = \dfrac{x_{2}}{\sqrt{x_{2}^{2} - \dfrac{1}{5}}}$

$x_{1}\sqrt{5}\sqrt{x_{2}^{2} - \dfrac{1}{5}} = x_{2}$

$x_{1}\sqrt{5x_{2}^{2} - 1} = x_{2}$

$x_{1}^{2}\left( {5x_{2}^{2} - 1} \right) = x_{2}^{2}$

$5x_{1}^{2}x_{2}^{2} - x_{1}^{2} = x_{2}^{2}$

$5\left( {x_{1}x_{2}} \right)^{2} = x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$

$5\left( {x_{1}x_{2}} \right)^{2} = \left( {x_{1} + x_{2}} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2}$

$\left( {m + 1} \right)^{2} = \left( {m + 2} \right)^{2} - 2\left( {m + 1} \right)$

$5\left( {m^{2} + 2m + 1} \right) = m^{2} + 4m + 4 - 2m - 2$

$5m^{2} + 10m + 5 = m^{2} + 2m + 2$

$4m^{2} + 8m + 3 = 0$

Giải phương trình trên ta được: ${m_1} = \dfrac{1}{2};{\mkern 1mu} {m_2} = - \dfrac{3}{2}$ (tm)

Vậy có 2 giá trị của m thoả mãn điều kiện để bài.

Đáp án cần điền là: 2

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link