Cho tam giác $ABC$nội tiếp đường tròn đường kính $BC$. Kẻ $AH$ vuông góc với $BC$ ( H thức
Cho tam giác $ABC$nội tiếp đường tròn đường kính $BC$. Kẻ $AH$ vuông góc với $BC$ ( H thức $BC$). Gọi K là điểm đối xứng với H qua $AC$.
a) Chứng minh tứ giác $AHCK$là tứ giác nội tiếp.
b) Trên nửa mặt phẳng bờ $BC$ chứa $A$, dựng nửa đường tròn tâm $P$ đường kính $HB$ cắt $AB$tại $E$ và nửa đường tròn tâm $Q$ đường kính $HC$cắt $AC$tại $F$. Chứng minh rằng:$AE.AB = AF.AC$
c) Chứng minh rằng:$AH^{3} = BC.AE.AF$.
Quảng cáo
a) Sử dụng tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông suy ra bốn điểm A, H, C, K cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh $\left. \Delta AHB \right.\sim\Delta AEH$ suy ra $AE.AB = AH^{2}$, $\Delta AHC \sim \Delta AFH$ suy ra $AF.AC = AH^{2}$. Từ đó ta có đpcm.
c) Chứng minh $\left. \Delta AHB \right.\sim\Delta CAB$ rồi suy ra $BC = \dfrac{AB.AC}{AH}$
Tương tự, rút được AE, AF theo AH, AB và AC từ đó suy ra đpcm.
a) Vì $AH\bot BC$ nên $\angle AHB = \angle AHC = 90{^\circ}$
Tam giác AHC vuông tại H nên A, H, C cùng thuộc đường tròn đường kính AC (1)
Vì H và K đối xứng qua AC nên AC là đường trung trực của HK
Suy ra $AH = AK;{\mkern 1mu} CH = CK$(tính chất đường trung trực)
Xét $\Delta AHC$ và $\Delta AKC$ có:
AC chung
$AH = AK$ (cmt)
$CH = CK$ (cmt)
Suy ra $\angle AKC = \angle AHC = 90{^\circ}$
Tam giác AKC vuông tại K nên A, K, C cùng thuộc đường tròn đường kính AC (2)
Từ (1) và (2) suy ra A, H, C, K cùng thuộc đường tròn đường kính AC.
Vậy tứ giác $AHCK$là tứ giác nội tiếp.
b) Vì $\Delta BEH$ nội tiếp đường tròn đường kính BH nên $\angle BEH = 90{^\circ}$
Suy ra $HE\bot AB$ nên $\angle AEH = 90{^\circ}$
Xét $\Delta AHB$ và $\Delta AEH$ có góc A chung; $\angle AHB = \angle AEH = 90{^\circ}$
Suy ra $\left. \Delta AHB \right.\sim\Delta AEH$ (g.g)
Suy ra $\dfrac{AH}{AE} = \dfrac{AB}{AH}$
Suy ra $AE.AB = AH^{2}$ (3)
Vì $\Delta HFC$ nội tiếp đường tròn đường kính BH nên $\angle HFC = 90{^\circ}$
Suy ra $HF\bot AC$ nên $\angle AFH = 90{^\circ}$
Xét $\Delta AHC$ và $\Delta AFH$có góc A chung; $\angle AHC = \angle AFH = 90{^\circ}$
Suy ra $\Delta AHC \sim \Delta AFH$(g.g)
Suy ra $\dfrac{AH}{AF} = \dfrac{AC}{AH}$
Suy ra $AF.AC = AH^{2}$ (4)
Từ (3) và (4) suy ra $AE.AB = AF.AC$
c) Vì $\Delta ABC$ nội tiếp đường tròn đường kính BC nên $\angle BAC = 90{^\circ}$
.Xét $\Delta AHB$ và $\Delta CAB$ có góc B chung; $\angle AHB = \angle BAC = 90{^\circ}$
Suy ra $\left. \Delta AHB \right.\sim\Delta CAB$ (g.g)
nên $\dfrac{AH}{AC} = \dfrac{AB}{BC}$ hay $AB.AC = AH.BC$ suy ra $BC = \dfrac{AB.AC}{AH}$
Từ (3) và (4) ta có:$AE = \dfrac{AH^{2}}{AB}$; $AF = \dfrac{AH^{2}}{AC}$
Do đó: $AE.AF.BC = \dfrac{AH^{2}}{AB}.\dfrac{AH^{2}}{AC}.\dfrac{AB.AC}{AH} = AH^{3}$(đpcm)
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
