Cho tam giác ABC vuông tại A có I là trung điểm của AC. Vẽ đường tròn tâm O đường kính IC.

Câu hỏi số 803633:

Vận dụng

Cho tam giác ABC vuông tại A có I là trung điểm của AC. Vẽ đường tròn tâm O đường kính IC. Gọi D là giao điểm khác I của BI với (O).

a) Chứng minh ABCD là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh $IA \cdot IC = IB \cdot ID$.

c) Cho $AB = 3~\text{cm},AC = 4~\text{cm},K$ là giao điểm của hai đường thẳng AB và CD. Tính độ dài doạn thẳng IK.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:803633

Phương pháp giải

a) Chứng minh A, B, C, D cùng thuộc đường tròn đường kính BC hay ABCD là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh $\Delta IDC \sim \Delta IAB\left( {g.g} \right)$ nên $\dfrac{ID}{IA} = \dfrac{IC}{IB}$ hay $IA.IC = IB.ID$

c) Gọi E là giao điểm thứ hai của BC với đường tròn tâm O.

Chứng minh K, I, E thẳng hàng

Chứng minh $\Delta CIE \sim \Delta CBA\left( {g.g} \right)$ suy ra $\dfrac{CI}{CB} = \dfrac{IE}{AB}$ hay $IE = \dfrac{CI.AB}{CB}$

Khi đó $CE^{2} = IC^{2} - IE^{2}$

Suy ra $BE = BC - CE$

Từ đó tính được $IK = KE - IE$

Giải chi tiết

a) Do D thuộc đường tròn đường kính IC nên $\angle IDC = 90^{0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Khi đó $\Delta BDC$ vuông tại D nên B, D, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC

Tương tự $\Delta ABC$ vuông tại A nên A, B, C cùng thuộc đường tròn đường kính BC

Vậy A, B, C, D cùng thuộc đường tròn đường kính BC hay ABCD là tứ giác nội tiếp

b) Xét $\Delta IDC$ và $\Delta IAB$ có $\angle DIC = \angle AIB$ (2 góc đối đỉnh)

$\angle CDI = \angle IAB\left( {= 90^{0}} \right)$

Suy ra $\Delta IDC \sim \Delta IAB\left( {g.g} \right)$ nên $\dfrac{ID}{IA} = \dfrac{IC}{IB}$ hay $IA.IC = IB.ID$

c) I là trung điểm của AC nên $IC = \dfrac{1}{2}AC = 2$ (cm)

$\Delta ABC$ vuông tại A nên $BC^{2} = AB^{2} + AC^{2} = 3^{2} + 4^{2} = 25$ nên $BC = 5$ (cm)

Gọi E là giao điểm thứ hai của BC với đường tròn tâm O.

Xét $\Delta KBC$ có BD, CA là đường cao cắt nhau tại I nên I là trực tâm của $\Delta KBC$

Khi đó $KI\bot BC$ (tính chất 3 đường cao đồng quy)

Lại có E thuộc đường tròn tâm O nên $\angle IEC = 90^{0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay $IE\bot BC$

Vậy K, I, E thẳng hàng

Xét $\Delta CIE$ và $\Delta CBA$ có $\angle ACB$ chung và $\angle CEI = \angle CAB\left( {= 90^{0}} \right)$

Nên $\Delta CIE \sim \Delta CBA\left( {g.g} \right)$ suy ra $\dfrac{CI}{CB} = \dfrac{IE}{AB}$ hay $IE = \dfrac{CI.AB}{CB} = \dfrac{2.3}{5} = \dfrac{6}{5}$ (cm)

Khi đó $CE^{2} = IC^{2} - IE^{2} = 2^{2} - \left( \dfrac{6}{5} \right)^{2} = \dfrac{64}{25}$ hay $CE = \dfrac{8}{5}$ (cm)

Suy ra $BE = BC - CE = 5 - \dfrac{8}{5} = \dfrac{17}{5}$ (cm)

Ta có $\tan\angle ABC = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{4}{3}$

mà $\tan\angle KBE = \dfrac{KE}{BE} = \tan\angle ABC = \dfrac{4}{3}$ nên $KE = \dfrac{4}{3}.BE = \dfrac{4}{3}.\dfrac{17}{5} = \dfrac{68}{15}$ (cm)

Vậy $IK = KE - IE = \dfrac{68}{15} - \dfrac{6}{5} = \dfrac{10}{3}$ (cm)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link