Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$ có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Lấy điểm M
Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$ có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Lấy điểm M thuộc cung nhỏ BC (M khác B và M khác C). Đoạn thẳng MD cắt đoạn thẳng OB tại I, đoạn thẳng OC cắt đoạn thẳng AM tại K.
a) Chứng minh tứ giác OBMK nội tiếp.
b) Chứng minh rằng $DI.DM = 2R^{2}$.
c) Tia phân giác của góc $\angle IOM$ cắt MI tại điểm E. Chứng minh rằng $\tan\angle ODI = \dfrac{EI}{EM}$
d) Cho $IB = 2.IO$. Tính tỉ số $\dfrac{MB}{MC}$.
Quảng cáo
a) Chứng minh $M,K,B,O$ cùng thuộc đường tròn đường kính KB hay tứ giác OBMK nội tiếp.
b) Chứng minh $\Delta DIB \sim \Delta DBM\left( {g.g} \right)$ suy ra $\dfrac{DI}{DB} = \dfrac{DB}{DM}$ hay $DI.DM = DB^{2}$
Mà $DB^{2} = OD^{2} + OB^{2} = R^{2} + R^{2} = 2R^{2}$ nên $DI.DM = 2R^{2}$
c) Do OE là phân giác của góc $MOI$ nên $\dfrac{IE}{EM} = \dfrac{OI}{OM} = \dfrac{OI}{OD}$ (tính chất đường phân giác)
Mà $\Delta OID$ vuông tại O nên $\tan\angle ODI = \dfrac{OI}{OD}$
Vậy $\tan\angle ODI = \dfrac{EI}{EM}$
d) Gọi $IO = x$ thì $IB = 2.IO = 2x$.
Tính được $MB = \dfrac{IB.DB}{DI} = \dfrac{2x.R\sqrt{2}}{\sqrt{x^{2} + R^{2}}}$ và $MC = \dfrac{2xR}{\sqrt{x^{2} + R^{2}}}$
a) Do $AB\bot CD$ tại O nên $\Delta KOB$ vuông tại O hay O, K, B cùng thuộc đường tròn đường kính KB
Có $M \in (O)$ nên $\angle AMB = 90^{0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Khi đó $\Delta MKB$ vuông tại M nên M, K, B cùng thuộc đường tròn đường kính KB
Vậy $M,K,B,O$ cùng thuộc đường tròn đường kính KB hay tứ giác OBMK nội tiếp.
b) Ta có $\angle DMB = \dfrac{1}{2}sd\, cung\, DB = \dfrac{1}{2}.90^{0} = 45^{0}$ và $\angle DBI = \dfrac{1}{2}sd\, cung\, AD = \dfrac{1}{2}.90^{0} = 45^{0}$ nên $\angle DMB = \angle DBI$
Xét $\Delta DIB$ và $\Delta DBM$ có $\angle DMB = \angle DBI$ và $\angle MDB$ chung
Nên $\Delta DIB \sim \Delta DBM\left( {g.g} \right)$ suy ra $\dfrac{DI}{DB} = \dfrac{DB}{DM}$ hay $DI.DM = DB^{2}$
Mà $DB^{2} = OD^{2} + OB^{2} = R^{2} + R^{2} = 2R^{2}$ nên $DI.DM = 2R^{2}$
c) Do OE là phân giác của góc $MOI$ nên $\dfrac{IE}{EM} = \dfrac{OI}{OM} = \dfrac{OI}{OD}$ (tính chất đường phân giác)
Mà $\Delta OID$ vuông tại O nên $\tan\angle ODI = \dfrac{OI}{OD}$
Vậy $\tan\angle ODI = \dfrac{EI}{EM}$
d) Gọi $IO = x$ thì $IB = 2.IO = 2x$.
Khi đó $DI = \sqrt{OI^{2} + OD^{2}} = \sqrt{x^{2} + R^{2}}$ và $BD = \sqrt{OB^{2} + OD^{2}} = R\sqrt{2}$
Theo b) ta có $\Delta DIB \sim \Delta DBM\left( {g.g} \right)$ nên $\dfrac{DI}{DB} = \dfrac{IB}{MB}$ nên $MB = \dfrac{IB.DB}{DI} = \dfrac{2x.R\sqrt{2}}{\sqrt{x^{2} + R^{2}}}$
Ta có $\sin IDO = \dfrac{OI}{DI} = \dfrac{x}{\sqrt{x^{2} + R^{2}}}$ và $\sin MDC = \dfrac{MC}{DC} = \dfrac{MC}{2R}$ suy ra $\dfrac{MC}{2R} = \dfrac{x}{\sqrt{x^{2} + R^{2}}}$
Suy ra $MC = \dfrac{2xR}{\sqrt{x^{2} + R^{2}}}$
Vậy $\dfrac{MB}{MC} = \dfrac{2x.R\sqrt{2}}{\sqrt{x^{2} + R^{2}}}:\dfrac{2xR}{\sqrt{x^{2} + R^{2}}} = \dfrac{2x.R\sqrt{2}}{\sqrt{x^{2} + R^{2}}}.\dfrac{\sqrt{x^{2} + R^{2}}}{2xR} = \sqrt{2}$
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
