Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$ có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Lấy điểm M

Câu hỏi số 803655:

Vận dụng

Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$ có hai đường kính AB và CD vuông góc với nhau. Lấy điểm M thuộc cung nhỏ BC (M khác B và M khác C). Đoạn thẳng MD cắt đoạn thẳng OB tại I, đoạn thẳng OC cắt đoạn thẳng AM tại K.

a) Chứng minh tứ giác OBMK nội tiếp.

b) Chứng minh rằng $DI.DM = 2R^{2}$.

c) Tia phân giác của góc $\angle IOM$ cắt MI tại điểm E. Chứng minh rằng $\tan\angle ODI = \dfrac{EI}{EM}$

d) Cho $IB = 2.IO$. Tính tỉ số $\dfrac{MB}{MC}$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:803655

Phương pháp giải

a) Chứng minh $M,K,B,O$ cùng thuộc đường tròn đường kính KB hay tứ giác OBMK nội tiếp.

b) Chứng minh $\Delta DIB \sim \Delta DBM\left( {g.g} \right)$ suy ra $\dfrac{DI}{DB} = \dfrac{DB}{DM}$ hay $DI.DM = DB^{2}$

Mà $DB^{2} = OD^{2} + OB^{2} = R^{2} + R^{2} = 2R^{2}$ nên $DI.DM = 2R^{2}$

c) Do OE là phân giác của góc $MOI$ nên $\dfrac{IE}{EM} = \dfrac{OI}{OM} = \dfrac{OI}{OD}$ (tính chất đường phân giác)

Mà $\Delta OID$ vuông tại O nên $\tan\angle ODI = \dfrac{OI}{OD}$

Vậy $\tan\angle ODI = \dfrac{EI}{EM}$

d) Gọi $IO = x$ thì $IB = 2.IO = 2x$.

Tính được $MB = \dfrac{IB.DB}{DI} = \dfrac{2x.R\sqrt{2}}{\sqrt{x^{2} + R^{2}}}$ và $MC = \dfrac{2xR}{\sqrt{x^{2} + R^{2}}}$

Giải chi tiết

a) Do $AB\bot CD$ tại O nên $\Delta KOB$ vuông tại O hay O, K, B cùng thuộc đường tròn đường kính KB

Có $M \in (O)$ nên $\angle AMB = 90^{0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Khi đó $\Delta MKB$ vuông tại M nên M, K, B cùng thuộc đường tròn đường kính KB

Vậy $M,K,B,O$ cùng thuộc đường tròn đường kính KB hay tứ giác OBMK nội tiếp.

b) Ta có $\angle DMB = \dfrac{1}{2}sd\, cung\, DB = \dfrac{1}{2}.90^{0} = 45^{0}$ và $\angle DBI = \dfrac{1}{2}sd\, cung\, AD = \dfrac{1}{2}.90^{0} = 45^{0}$ nên $\angle DMB = \angle DBI$

Xét $\Delta DIB$ và $\Delta DBM$ có $\angle DMB = \angle DBI$ và $\angle MDB$ chung

Nên $\Delta DIB \sim \Delta DBM\left( {g.g} \right)$ suy ra $\dfrac{DI}{DB} = \dfrac{DB}{DM}$ hay $DI.DM = DB^{2}$

Mà $DB^{2} = OD^{2} + OB^{2} = R^{2} + R^{2} = 2R^{2}$ nên $DI.DM = 2R^{2}$

c) Do OE là phân giác của góc $MOI$ nên $\dfrac{IE}{EM} = \dfrac{OI}{OM} = \dfrac{OI}{OD}$ (tính chất đường phân giác)

Mà $\Delta OID$ vuông tại O nên $\tan\angle ODI = \dfrac{OI}{OD}$

Vậy $\tan\angle ODI = \dfrac{EI}{EM}$

d) Gọi $IO = x$ thì $IB = 2.IO = 2x$.

Khi đó $DI = \sqrt{OI^{2} + OD^{2}} = \sqrt{x^{2} + R^{2}}$ và $BD = \sqrt{OB^{2} + OD^{2}} = R\sqrt{2}$

Theo b) ta có $\Delta DIB \sim \Delta DBM\left( {g.g} \right)$ nên $\dfrac{DI}{DB} = \dfrac{IB}{MB}$ nên $MB = \dfrac{IB.DB}{DI} = \dfrac{2x.R\sqrt{2}}{\sqrt{x^{2} + R^{2}}}$

Ta có $\sin IDO = \dfrac{OI}{DI} = \dfrac{x}{\sqrt{x^{2} + R^{2}}}$ và $\sin MDC = \dfrac{MC}{DC} = \dfrac{MC}{2R}$ suy ra $\dfrac{MC}{2R} = \dfrac{x}{\sqrt{x^{2} + R^{2}}}$

Suy ra $MC = \dfrac{2xR}{\sqrt{x^{2} + R^{2}}}$

Vậy $\dfrac{MB}{MC} = \dfrac{2x.R\sqrt{2}}{\sqrt{x^{2} + R^{2}}}:\dfrac{2xR}{\sqrt{x^{2} + R^{2}}} = \dfrac{2x.R\sqrt{2}}{\sqrt{x^{2} + R^{2}}}.\dfrac{\sqrt{x^{2} + R^{2}}}{2xR} = \sqrt{2}$

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link