Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} {\left( {m + 1} \right)x - my = 5} \\ {x + my = m^{2} +

Câu hỏi số 803992:

Vận dụng

Cho hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} {\left( {m + 1} \right)x - my = 5} \\ {x + my = m^{2} + 4m} \end{array} \right.$. Tìm giá trị $m \in {\mathbb{Z}}$ để hệ có nghiệm $\left( {x;y} \right)$ với $x,y \in {\mathbb{Z}}$.

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:803992

Phương pháp giải

Trước tiên, ta rút $x$ từ phương trình thứ hai thế vào phương trình thứ nhất, ta thu được một phương trình ẩn $y$ với tham số $m$. Tìm điều kiện để phương trình đó có nghiệm duy nhất.

Sau đó ta tìm được cặp nghiệm $\left( {x,y} \right)$, kết hợp với điều kiện $x,y \in {\mathbb{Z}}$ để tìm được giá trị của $m$.

Giải chi tiết

Từ phương trình thứ hai, ta có: $x = m^{2} + 4m - my$ (1)

Thế (1) vào phương trình thứ nhất, ta có:

$~\left( {m + 1} \right)x - my = 5$

$~\left( {m + 1} \right)\left( {m^{2} + 4m - my} \right) - my = 5$

$m^{3} + 4m^{2} - m^{2}y + m^{2} + 4m - my - my = 5$

$\left( {- m^{2} - 2m} \right)y + m^{3} + 5m^{2} + 4m - 5 = 0\text{~(2)~}$

Để HPT có nghiệm $(x;y)$ thì phương trình (2) có nghiệm

$\left. ~\Rightarrow m^{2} - 2m \neq 0 \right.$ hay $- m\left( {m + 2} \right) \neq 0$

Suy ra $m \neq 0$ và $m \neq - 2$ (*)

Từ (2), ta có: $y = \dfrac{m^{3} + 5m^{2} + 4m - 5}{m^{2} + 2m}$

Thay $y$ vào (1), ta có:

$x = m^{2} + 4m - m \cdot \dfrac{m^{3} + 5m^{2} + 4m - 5}{m^{2} + 2m}$

$~ = m^{2} + 4m - \dfrac{m^{3} + 5m^{2} + 4m - 5}{m + 2}$

$~ = \dfrac{\left( {m^{2} + 4m} \right)\left( {m + 2} \right) - \left( {m^{3} + 5m^{2} + 4m - 5} \right)}{m + 2}$

$~ = \dfrac{m^{3} + 2m^{2} + 4m^{2} + 8m - m^{3} - 5m^{2} - 4m + 5}{m + 2}$

$~ = \dfrac{m^{2} + 4m + 5}{m + 2} = \dfrac{{(m + 2)}^{2} + 1}{m + 2} = m + 2 + \dfrac{1}{m + 2}$

Mà $m \in {\mathbb{Z}}$ nên để $x \in {\mathbb{Z}}$ thì $\dfrac{1}{m + 2} \in {\mathbb{Z}}$

$\left. \Rightarrow 1 \vdots (m + 2)\Rightarrow m + 2 \in \right.$Ư(1)

$\left. \Rightarrow m + 2 \in \left\{ {1; - 1} \right\}\Rightarrow m \in \left\{ {- 1; - 3} \right\} \right.$

Với $m = - 1$, ta có:

$x = ( - 1) + 2 + \dfrac{1}{( - 1) + 2} = 2 \in {\mathbb{Z}}$

Thế $x = 2$ vào phương trình thứ nhất, ta có:

$( - 1 + 1).2 - ( - 1)y = 5$

$y = 5 \in {\mathbb{Z}}$

$\left. \Rightarrow m = - 1 \right.$ (TMĐK)

Với $m = - 3$, ta có:

$x = ( - 3) + 2 + \dfrac{1}{( - 3) + 2} = - 2 \in {\mathbb{Z}}$

Thay $x = - 2$ vào phương trình thứ nhất, ta có:

$( - 3 + 1).( - 2) - ( - 3)y = 5$

$4 + 3y = 5$

$y = \dfrac{1}{3} \notin {\mathbb{Z}}$

$\left. \Rightarrow m = - 3 \right.$ (KTMĐK)

Vậy giá trị cần tìm là $m = - 1$.

Đáp án cần điền là: -1

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link