Gọi là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một

Câu hỏi số 804087:

Vận dụng cao

Gọi là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 và lấy ngẫu nhiên một số từ tập hợp S. Xác suất để số được lấy chia hết cho 11 và có tổng các chữ số của nó cũng chia hết cho 11 là $\dfrac{1}{a}$ với a là số tự nhiên. Khi đó giá trị của a bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:804087

Phương pháp giải

Sử dụng dấu hiệu chia hết cho 11 và suy luận

Giải chi tiết

Ta có không gian mẫu $n\left( \Omega \right) = A_9^4$.

Giả sử số cần lập là $\overline {abcd} $.

Theo giả thiết ta có

Vì $\overline {abcd} $ chia hết cho 11 nên ta có$b + d - \left( {a + c} \right){\rm{ }} \vdots {\rm{ }}11$ (1)

$\overline {abcd} $có tổng các chữ số chia hết cho 11 =>$a + b + c + d{\rm{ }} \vdots {\rm{ }}11$ (2)

Từ (1) và (2) ta được $a + c = b + d$và cùng chia hết cho 11.

Vì $a,b,c,d \in \left\{ {1;2;3;4;5;6;7;8;9} \right\}$$ \Rightarrow $$4 < a + b + c + d < 36$

$ \Rightarrow a + b + c + d \in \left\{ {{\rm{11; 22; 33}}} \right\}$

Do $a + c = b + d$$ \Rightarrow $$a + c = b + d = 11$$ \Rightarrow \left( {a,c} \right)$ và $\left( {b,d} \right)$ là một trong các cặp số $\left( {2,9} \right)$,$\left( {3,8} \right)$,$\left( {4,7} \right)$,$\left( {5,6} \right)$.

Có $C_4^2$ cách chọn 2 trong 4 cặp số trên, ứng với mỗi cách đó ta có: $a$ có 4 cách chọn, $b$ có 2 cách chọn, $c$ và $d$ mỗi chữ số có 1 cách chọn.

$ \Rightarrow n\left( A \right) = C_4^2.4.2$.

Vậy $P\left( A \right) = \dfrac{{C_4^2.4.2}}{{A_9^4}} = \dfrac{1}{{63}}$.

Vậy $a=63$

Đáp án cần điền là: 63

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.