Cho $\Delta ABC$ cân tại A biết $\angle A = 40^{0}$. Trên cạnh $AB,AC$ lấy các điểm $M,N$

Câu hỏi số 807159:

Vận dụng

Cho $\Delta ABC$ cân tại A biết $\angle A = 40^{0}$. Trên cạnh $AB,AC$ lấy các điểm $M,N$ sao cho $BM = CN$.
a) Tứ giác BMNC là hình gì? Vì sao?
b) Tính số đo các góc của tứ giác BMNC
c) Gọi O là giao điểm của MC và BN. Chứng minh rằng $\text{OM} = \text{ON}$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:807159

Phương pháp giải

a) Chứng minh hình thang có hai góc kề một đáy bằng nhau là hình thang cân.
Chứng minh tam giác AMN cân tại A.
Sử dụng tính chất của tam giác cân suy ra được $\angle AMN = \angle ANM = \angle ABC = \angle ACB = \dfrac{180^{0} - \angle A}{2}$
b) Tính các góc trong tứ giác BMNC, sử dụng tính chất của hình thang cân.
c) Chứng minh $\Delta\text{BNM} = \Delta\text{CMN}\left( {\text{c} - \text{g} - \text{c}} \right)$, chứng minh tam giác OMN cân tại O suy ra $\text{OM} = \text{ON}$

Giải chi tiết

a) Ta có $\Delta ABC$ cân tại $\left. A\Rightarrow AB = AC \right.$; $\angle ABC = \angle ACB = \dfrac{180^{0} - \angle A}{2} = \dfrac{180^{0} - 40^{0}}{2} = 70^{0}$

Vì $\left. BM = CN\,\,(gt)\Rightarrow AM = AN \right.$
Khi đó $\Delta AMN$ cân tại $\left. A\Rightarrow\angle AMN = \angle ANM = \dfrac{180^{0} - \angle A}{2} = \dfrac{180^{0} - 40^{0}}{2} = 70^{0} \right.$
Do đó $\angle AMN = \angle ABC = 70^{0}$ mà 2 góc ở vị trí đồng vị nên $MN \parallel BC$ hay BMNC là hình thang
Mà $\left. \angle ABC = \angle ACB\Rightarrow BMNC \right.$ là hình thang cân

b) Ta có $\angle MBC = \angle NCB = 70^{0}$

Vì BMNC là hình thang cân (theo a) suy ra $\angle BMN = \angle CNM$ (t/c)
Vì $MN \parallel BC$ nên $\angle NMB + \angle MBC = 180^{0}$ (hai góc trong cùng phía)

Suy ra $\angle BMN = 180^{0} - 70^{0} = 110^{0}$

Vậy $\angle BMN = \angle CNM = 110^{0}$

c) Xét $\Delta BNM$ và $\Delta CNM$ có:

MN là cạnh chung

$\angle BMN = \angle CNM\,\,(cmt)$

$BM = CN\,\,(gt)$

Suy ra $\Delta BNM = \Delta CMN\left( {c - g - c} \right)$

Khi đó $\angle BNM = \angle CMN$ (hai góc tương ứng)

Nên $\Delta OMN$ cân tại $\left. O\Rightarrow OM = ON \right.$

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link