Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$ và điểm $A$ nằm ngoài đường tròn $(O)$. Từ $A$ vẽ hai tiếp

Câu hỏi số 809439:

Vận dụng

Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$ và điểm $A$ nằm ngoài đường tròn $(O)$. Từ $A$ vẽ hai tiếp tuyến $AB$ và $AC$ của đường tròn $(O)$ ($B,C$ là hai tiếp điểm). Gọi $H$ là giao điểm của $OA$ và $BC$. Từ $B$ vẽ đường kính $BD$ của $(O)$, đường thẳng $AD$ cắt $(O)$ tại $E(E$ khác $D)$.
a) Chứng minh bốn điểm $A,B,C,O$ cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm và bán kính của đường tròn đó.
b) Chứng minh rằng $OA\bot BC$ tại $H$.
c) Chứng minh $OA//CD$
d) Khi $OA = BD$, hãy tính theo $R$ diện tích hình quạt giới hạn bởi bán kính $OC,OD$ và cung nhỏ $CD$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:809439

Phương pháp giải

a) Chứng minh $\Delta AOB$ vuông tại B và $\Delta AOC$ vuông tại C.
Suy ra 4 điểm $A,B,O,C$ cùng thuộc đường tròn đường kính OA.

Tâm đường tròn là trung điểm của OA.

b) Chứng minh $OA$ là đường trung trực của $BC$ nên $OA\bot BC$ tại $H$.

c) Chứng minh $\angle BDC = \angle BOA$, mà 2 góc này ở vị trí đồng vị nên $CD//OA$

d) Tính $\angle COD$, từ đó tính diện tích hình quạt giới hạn bởi bán kính $OC,OD$ và cung nhỏ $CD$ là: $S = \dfrac{\pi R^{2}n}{360}.$

Giải chi tiết

a) Vì $AB$ là tiếp tuyến tại $B$ của $(O)$ nên $AB\bot OB$
Suy ra $\Delta AOB$ vuông tại B hay $\Delta AOB$ nội tiếp đường tròn đường kính OA
Tương tự ta có $\Delta AOC$ nội tiếp đường tròn đường kính OA
Vậy 4 điểm $A,B,O,C$ cùng thuộc đường tròn đường kính OA.

Tâm đường tròn là trung điểm của OA.

b) Xét $(O)$ có: $AB,AC$ là tiếp tuyến tại $B,C$ nên $AB = AC$ (tính chất).
Suy ra A thuộc đường trung trực của $BC$.
Mà $OB = OC = R$ nên $O$ thuộc đường trung trực của $BC$
Do đó $OA$ là đường trung trực của $BC$ nên $OA\bot BC$ tại $H$.

c) Xét $(O)$ có: $AB,AC$ là tiếp tuyến tại $B,C$ cắt nhau tại $A$ nên OA là tia phân giác của $\angle BOC$ suy ra $\angle BOA = \angle AOC = \dfrac{\angle BOC}{2}$
Mà $\angle BOC$ là góc ở tâm chắn cung BC nên $\angle BOC =$sđ cung BC suy ra $\angle BOA = \dfrac{sd\, cung\, BC}{2}$ (1)
Lại có $\angle BDC$ là góc nội tiếp chắn cung $BC$ suy ra $\angle BDC = \dfrac{sd\, cung\, BC}{2}$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $\angle BDC = \angle BOA$, mà 2 góc này ở vị trí đồng vị nên $CD//OA$

d) Vì $OA = BD$ nên $OA = 2R$

Xét $\Delta AOB$ vuông tại $B$, có: $\cos\angle AOB = \dfrac{OB}{OA} = \dfrac{R}{2R} = \dfrac{1}{2}$, suy ra $\angle AOB = 60^{0}$.
Do $AB,AC$ là tiếp tuyến tại $B,C$ của $(O)$ nên $OA$ là tia phân giác của $\angle BOC$
Suy ra $\angle BOC = 2\angle AOB = 2.60^{0} = 120^{0}$.
Do đó $\angle COD = 180^{0} - \angle BOC = 180^{0} - 120^{0} = 60^{0}$
Mà $\angle COD$ là góc ở tâm chắn cung CD của $(O)$ nên sđ cung CD$= 60^{0}$.
Diện tích hình quạt giới hạn bởi bán kính $OC,OD$ và cung nhỏ $CD$ là: $S = \dfrac{\pi R^{2}60}{360} = \dfrac{\pi R^{2}}{6}$ (đvdt)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link