Trong mặt phắng tọa độ Oxy , cho ba điểm $\text{A}(1; - 4),\text{B}(4;5)$ và $\text{C}(0; - 7)$. Điểm M

Câu hỏi số 810565:

Vận dụng

Trong mặt phắng tọa độ Oxy , cho ba điểm $\text{A}(1; - 4),\text{B}(4;5)$ và $\text{C}(0; - 7)$. Điểm M di chuyển trên trục $\text{Ox}$. Đặt $\left. ~\text{T} = 3 \middle| \overset{\rightarrow}{\text{MB}} + \overset{\rightarrow}{\text{MC}} \middle| + 2 \middle| \overset{\rightarrow}{\text{MA}} + 2\overset{\rightarrow}{\text{MB}} \right|$. Khi M thay đổi, giá trị nhỏ nhất của biểu thức T có dạng $a\sqrt{b}$ trong đó $a$, $b$ là các số nguyên dương và $a,b < 20$. Tính $2a + b$.

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:810565

Phương pháp giải

Gọi I là trung điểm của BC, khi đó $MB + MC = 2MI$.

Gọi J là điểm thỏa mãn $JA + 2JB = 0$, khi đó $MA + 2MB = 3MJ$.

Thay các biểu thức đã rút gọn vào T ta được $T = 6(MI + MJ)$.

Bài toán trở thành tìm M trên trục Ox để $MI + MJ$ nhỏ nhất.

Giải chi tiết

Gọi I là trung điểm của $BC?\ I(2; - 1).$ Ta có: $\left| MB + MC \middle| = 2MI \right.$

Gọi J là điểm thỏa mãn $JA + 2JB = 0\ ?\ J(3;2)$. Ta có: $\left| MA + 2MB \middle| = 3MJ \right.$.

Thay vào biểu thức T: $T = 3(2MI) + 2(3MJ) = 6(MI + MJ)$.

Điểm M di chuyển trên trục Ox. Vì $y_{I} = - 1$ và $y_{J} = 2$ trái dấu nên I và J nằm về hai phía của trục Ox.

Do đó, $(MI + MJ)$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng độ dài đoạn thẳng IJ.

$IJ = \sqrt{{(3 - 2)}^{2} + {(2 - ( - 1))}^{2}} = \sqrt{1^{2} + 3^{2}} = \sqrt{10}$.

Vậy $T_{min} = 6.IJ = 6.\sqrt{10}$.

Giá trị cần tính: $2a + b = 2.6 + 10 = 22$.

Đáp án cần điền là: 22

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10