Trong mặt phắng tọa độ Oxy , cho ba điểm $\text{A}(1; - 4),\text{B}(4;5)$ và $\text{C}(0; - 7)$. Điểm M

Câu hỏi số 810565:

Vận dụng

Trong mặt phắng tọa độ Oxy , cho ba điểm $\text{A}(1; - 4),\text{B}(4;5)$ và $\text{C}(0; - 7)$. Điểm M di chuyển trên trục $\text{Ox}$. Đặt $\left. ~\text{T} = 3 \middle| \overset{\rightarrow}{\text{MB}} + \overset{\rightarrow}{\text{MC}} \middle| + 2 \middle| \overset{\rightarrow}{\text{MA}} + 2\overset{\rightarrow}{\text{MB}} \right|$. Khi M thay đổi, giá trị nhỏ nhất của biểu thức T có dạng $a\sqrt{b}$ trong đó $a$, $b$ là các số nguyên dương và $a,b < 20$. Tính $2a + b$.

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:810565

Phương pháp giải

Gọi I là trung điểm của BC, khi đó $MB + MC = 2MI$.

Gọi J là điểm thỏa mãn $JA + 2JB = 0$, khi đó $MA + 2MB = 3MJ$.

Thay các biểu thức đã rút gọn vào T ta được $T = 6(MI + MJ)$.

Bài toán trở thành tìm M trên trục Ox để $MI + MJ$ nhỏ nhất.

Giải chi tiết

Gọi I là trung điểm của $BC?\ I(2; - 1).$ Ta có: $\left| MB + MC \middle| = 2MI \right.$

Gọi J là điểm thỏa mãn $JA + 2JB = 0\ ?\ J(3;2)$. Ta có: $\left| MA + 2MB \middle| = 3MJ \right.$.

Thay vào biểu thức T: $T = 3(2MI) + 2(3MJ) = 6(MI + MJ)$.

Điểm M di chuyển trên trục Ox. Vì $y_{I} = - 1$ và $y_{J} = 2$ trái dấu nên I và J nằm về hai phía của trục Ox.

Do đó, $(MI + MJ)$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng độ dài đoạn thẳng IJ.

$IJ = \sqrt{{(3 - 2)}^{2} + {(2 - ( - 1))}^{2}} = \sqrt{1^{2} + 3^{2}} = \sqrt{10}$.

Vậy $T_{min} = 6.IJ = 6.\sqrt{10}$.

Giá trị cần tính: $2a + b = 2.6 + 10 = 22$.

Đáp án cần điền là: 22

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.