Gọi $A$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của $a$ thuộc đoạn $\left\lbrack {- 5;5}

Câu hỏi số 819070:

Vận dụng

Gọi $A$ là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của $a$ thuộc đoạn $\left\lbrack {- 5;5} \right\rbrack$ sao cho dãy số $\left( u_{n} \right)$ với $u_{n} = \dfrac{a \cdot n^{4} + 2}{2n^{4} + 5};n \in {\mathbb{N}}^{\text{*}}$ là một dãy số tăng. Hỏi tập hợp $A$ có bao nhiêu phần tử?

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:819070

Phương pháp giải

Tính $u_{n + 1} - u_{n}$.

Để $\left( u_{n} \right)$ tăng $\left. \Leftrightarrow u_{n + 1} - u_{n} > 0;\forall n \in N^{\text{*}} \right.$ từ đó tìm n.

Giải chi tiết

Ta có: $u_{n} = \dfrac{a \cdot n^{4} + 2}{2n^{4} + 5} = \dfrac{a}{2} + \dfrac{4 - 5a}{2\left( {2n^{4} + 5} \right)};n \in {\mathbb{N}}^{\text{*}}$.

$u_{n + 1} - u_{n} = \dfrac{4 - 5a}{2\left\lbrack {2{(n + 1)}^{4} + 5} \right\rbrack} - \dfrac{4 - 5a}{2\left\lbrack {2n^{4} + 5} \right\rbrack} = \dfrac{4 - 5a}{2}\left\lbrack {\dfrac{1}{2{(n + 1)}^{4} + 5} - \dfrac{1}{2n^{4} + 5}} \right\rbrack$.

$\left. \Rightarrow u_{n + 1} - u_{n} = \dfrac{4 - 5a}{2}\dfrac{2n^{4} + 5 - 2{(n + 1)}^{4} - 5}{\left\lbrack {2{(n + 1)}^{4} + 5} \right\rbrack\left\lbrack {2{(n + 1)}^{4} + 5} \right\rbrack} \right.$.

$= \left( {4 - 5a} \right)\dfrac{n^{4} - {(n + 1)}^{4}}{\left\lbrack {2{(n + 1)}^{4} + 5} \right\rbrack\left\lbrack {2{(n + 1)}^{4} + 5} \right\rbrack}$.

Mà: $\dfrac{n^{4} - {(n + 1)}^{4}}{\left\lbrack {2{(n + 1)}^{4} + 5} \right\rbrack\left\lbrack {2{(n + 1)}^{4} + 5} \right\rbrack} < 0;\forall n \in {\mathbb{N}}^{\text{*}}$.

Nên để $\left( u_{n} \right)$ tăng $\left. \Leftrightarrow u_{n + 1} - u_{n} > 0;\forall n \in N^{\text{*}}\Leftrightarrow 4 - 5a < 0\Leftrightarrow a > \dfrac{4}{5} \right.$ ．

Đáp án cần điền là: 5

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.