Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, có đường cao $AH$. Gọi $D,E$ theo thứ tự là chân các đường

Câu hỏi số 824446:

Vận dụng

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$, có đường cao $AH$. Gọi $D,E$ theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ $H$ đến $AB,AC$.

a) Tứ giác $ADHE$ là hình gì? Vì sao?

b) Gọi $O$ là giao điểm của $DE$ và $AH;K$ là trung điểm của $HC$.

Chứng minh rằng $BO\bot AK$ và $\dfrac{HE}{AB} + \dfrac{DH}{AC} = 1$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:824446

Phương pháp giải

a) Tứ giác $ADHE$ có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật.

b) Chứng minh $O$ là trực tâm của $\Delta ABK$ suy ra $BO\bot AK$ (đpcm).

Áp dụng định lí Thalès có $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{HC}{BC}$; $\dfrac{AE}{AC} = \dfrac{BH}{BC}$

Suy ra $\dfrac{AD}{AB} + \dfrac{AE}{AC} = 1$

Mà $AD = HE,AE = DH$

Do vậy $\dfrac{HE}{AB} + \dfrac{DH}{AC} = 1$ (đpcm)

Giải chi tiết

a) Tứ giác $ADHE$ có: $\angle DAE = 90^{0}$ (do tam giác ABC vuông tại A)

$\angle ADH = 90^{0}$ (do $HD\bot AB$ tại $D)$

$\angle AEH = 90^{0}$ (do $HE\bot AC$ tại $E)$

Vậy tứ giác $ADHE$ là hình chữ nhật.

b) Vì $ADHE$ là hình chữ nhật nên hai đường chéo DE và AH cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường.

Khi đó O là trung điểm của AH

Lại có K là trung điểm của HC

Suy ra $KO$ là đường trung bình của $\Delta AHC$

Suy ra $KO//AC$ mà $AB\bot AC$ nên $OK\bot AB$.

Xét $\Delta ABK$ có đường cao KO và AH cắt nhau tại O nên $O$ là trực tâm của $\Delta ABK$ suy ra $BO\bot AK$ (đpcm).

Ta có:

$DH//AC$ suy ra $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{HC}{BC}$ (theo định lí Thalès).

$HE//AB$ suy ra $\dfrac{AE}{AC} = \dfrac{BH}{BC}$ (theo định lí Thalès).

Suy ra $\dfrac{AD}{AB} + \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{HC}{BC} + \dfrac{BH}{BC} = \dfrac{BC}{BC} = 1$

Mà $AD = HE,AE = DH$

Do vậy $\dfrac{HE}{AB} + \dfrac{DH}{AC} = 1$ (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link