Cho bất phương trình \(\sqrt[3]{{{x^4} + {x^2} + m}} - \sqrt[3]{{2{x^2} + 1}} + {x^2}\left( {{x^2} - 1} \right)

Câu hỏi số 824495:

Vận dụng cao

Cho bất phương trình \(\sqrt[3]{{{x^4} + {x^2} + m}} - \sqrt[3]{{2{x^2} + 1}} + {x^2}\left( {{x^2} - 1} \right) > 1 - m\). Có bao nhiêu tham số nguyên \(m<10\) để bất phương trình nghiệm đúng với mọi \(x > 1.\)

Đáp án:

Đáp án đúng là: 8

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:824495

Phương pháp giải

Biến đổi phương trình đã cho về dạng \(f\left( u \right) > f\left( v \right) \Leftrightarrow u > v\) với \(f\left( t \right)\) là hàm đơn điệu

Từ đó cô lập m đưa về dạng \(g\left( x \right) > m\) với mọi \(x > 1\)

Lập BBT của hàm số \(y = g\left( x \right)\) trên \(\left( {1; + \infty } \right)\) rồi kết luận.

Giải chi tiết

Ta có \(\sqrt[3]{{{x^4} + {x^2} + m}} - \sqrt[3]{{2{x^2} + 1}} + {x^2}\left( {{x^2} - 1} \right) > 1 - m\)

\( \Leftrightarrow \sqrt[3]{{{x^4} + {x^2} + m}} - \sqrt[3]{{2{x^2} + 1}} + {x^4} - {x^2} > 1 - m\)

\( \Leftrightarrow \sqrt[3]{{{x^4} + {x^2} + m}} + {x^4} + {x^2} + m > \sqrt[3]{{2{x^2} + 1}} + 2{x^2} + 1\) (*)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^3} + t\,\,\, \Rightarrow y' = 2{t^2} + 1 > 0\) nên hàm số \(f\left( t \right)\) là hàm đồng biến

Khi đó phương trình (*) trở thành \(f\left( {{x^4} + {x^2} + m} \right) > f\left( {2{x^2} + 1} \right) \Leftrightarrow {x^4} + {x^2} + m > 2{x^2} + 1 \Leftrightarrow m > - {x^4} + {x^2} + 1\)

Xét hàm số \(g\left( x \right) = - {x^4} + {x^2} + 1\) với \(x > 1\)

Có \(g'\left( x \right) = - 4{x^3} + 2x = - 2x\left( {2{x^2} - 1} \right) < 0;\,\forall x > 1\)

Ta có BBT của hàm \(g\left( x \right) = - {x^4} + {x^2} + 1\) với \(x > 1\)

Từ BBT suy ra \(m \ge 1.\)

Mà m nguyên và m

Đáp án cần điền là: 8

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.