Cho hai biểu thức $A = \dfrac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 3}$; $B = \dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} - \dfrac{\sqrt{x}

Câu hỏi số 852717:

Thông hiểu

Cho hai biểu thức $A = \dfrac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 3}$; $B = \dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} - \dfrac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 1} + \dfrac{2\sqrt{x} + 4}{x - 1}$ với $x \geq 0;x \neq 1$.

1) Tính giá trị của A khi $x = 4$.

2) Chứng minh rằng $B = \dfrac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 1}$.

3) Tìm $x$ để $A.B \leq \dfrac{1}{2}$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:852717

Phương pháp giải

- Thay giá trị $x$ vào biểu thức A (chú ý điều kiện xác định).

- Quy đồng mẫu thức với mẫu chung là $\left( {\sqrt{x} + 1} \right)\left( {\sqrt{x} - 1} \right)$ để rút gọn B.

- Tính $A.B$, giải bất phương trình với biểu thức $A.B$.

Giải chi tiết

1) ĐKXĐ: $x \geq 0,x \neq 1$.

Thay $x = 4$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A ta được:

$A = \dfrac{\sqrt{4} + 1}{\sqrt{4} + 3} = \dfrac{2 + 1}{2 + 3} = \dfrac{3}{5}.$

2) Rút gọn biểu thức B:

Với $x \geq 0;x \neq 1$, ta có:

$B = \dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1} - \dfrac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} - 1} + \dfrac{2\sqrt{x} + 4}{x - 1}$

$= \dfrac{2\sqrt{x}\left( {\sqrt{x} - 1} \right)}{\left( {\sqrt{x} + 1} \right)\left( {\sqrt{x} - 1} \right)} - \dfrac{\left( {\sqrt{x} + 2} \right)\left( {\sqrt{x} + 1} \right)}{\left( {\sqrt{x} - 1} \right)\left( {\sqrt{x} + 1} \right)} + \dfrac{2\sqrt{x} + 4}{x - 1}$

$= \dfrac{\left( {2x - 2\sqrt{x}} \right) - \left( {x + 3\sqrt{x} + 2} \right) + 2\sqrt{x} + 4}{\left( {\sqrt{x} - 1} \right)\left( {\sqrt{x} + 1} \right)}$

$= \dfrac{x - 3\sqrt{x} + 2}{\left( {\sqrt{x} - 1} \right)\left( {\sqrt{x} + 1} \right)}$

$= \dfrac{\left( {\sqrt{x} - 1} \right)\left( {\sqrt{x} - 2} \right)}{\left( {\sqrt{x} - 1} \right)\left( {\sqrt{x} + 1} \right)}$

$= \dfrac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 1}$(đpcm)

3) Ta có: $A \cdot B = \dfrac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 3} \cdot \dfrac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 1} = \dfrac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 3}$

Để $A \cdot B \leq \dfrac{1}{2}$, ta có:

$\dfrac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 3} \leq \dfrac{1}{2}$

$\dfrac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 3} - \dfrac{1}{2} \leq 0$

$\dfrac{2(\sqrt{x} - 2) - (\sqrt{x} + 3)}{2(\sqrt{x} + 3)} \leq 0$

$\dfrac{2\sqrt{x} - 4 - \sqrt{x} - 3}{2(\sqrt{x} + 3)} \leq 0$

$\dfrac{\sqrt{x} - 7}{2(\sqrt{x} + 3)} \leq 0$

Vì $x \geq 0$ nên $2\left( {\sqrt{x} + 3} \right) > 0$. Do đó:

$\sqrt{x} - 7 \leq 0$

$\sqrt{x} \leq 7$

$x \leq 49$.

Kết hợp với điều kiện $x \geq 0;x \neq 1$, ta được: $0 \leq x \leq 49$ và $x \neq 1$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link