Cho đường tròn $(\text{O})$ đường kính $\text{AB} = 2\text{R}$. Gọi C là trung điểm của OA. Dây MN

Câu hỏi số 853125:

Vận dụng

Cho đường tròn $(\text{O})$ đường kính $\text{AB} = 2\text{R}$. Gọi C là trung điểm của OA. Dây MN vuông góc AB tại C. Trên cung nhỏ MB lấy điểm K bất kì $(\text{K}$ khác $\text{M},\text{B})$. Nối AK cắt MN tại H.

a) Chứng minh 4 điểm $\text{B},\text{C},\text{H},\text{K}$ cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh $\widehat{KBA} = \widehat{MHK}$ và tam giác BMN đều.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:853125

Phương pháp giải

a) Sử dụng dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp.

b) Vận dụng tính chất tứ giác nội tiếp và góc kề bù để chứng minh hai góc bằng nhau; chứng minh tam giác cân có một góc bằng $60^{{^\circ}}$ để suy ra tam giác đều.

Giải chi tiết

a) Đường tròn $(\text{O})$, đường kính AB có:

$\widehat{AKB} = 90^{{^\circ}}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên $\widehat{HKB} = 90^{{^\circ}}$

$\Delta\text{HKB}$ vuông tại $\left. \text{K}\Rightarrow\text{H},\text{K},\text{B} \right.$ cùng thuộc đường tròn đường kính HB (1)

$\text{MN}\bot\text{AB}$ tại $\left. \text{C~}(\text{gt})\Rightarrow\widehat{HCB} = 90^{{^\circ}} \right.$

$\Delta\text{CBH}$ vuông tại $\left. \text{C}\Rightarrow\text{C},\text{B},\text{H} \right.$ cùng thuộc đường tròn đường kính BH (2)

Từ (1) và (2) suy ra 4 điểm $\text{B},\text{C},\text{H},\text{K}$ cùng thuộc một đường tròn đường kính BH.

b) Vì 4 điểm $\text{B},\text{C}.\text{H},\text{K}$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $\text{BH}(\text{cmt})$

Nên tứ giác BCHK nội tiếp đường tròn đường kính BH

$\left. \Rightarrow\widehat{KBC} + \widehat{CHK} = 180^{{^\circ}} \right.$ (định lý tứ giác nội tiếp)

Mà $\widehat{MHK} + \widehat{CHK} = 180^{{^\circ}}$ (hai góc kề bù) và $\text{C} \in \text{AB}$.

Do đó $\widehat{KBA} = \widehat{MHK}$

Chứng minh tam giác BMN đều:

$\Delta\text{OMN}$ cân tại $\text{O}($ vì $\text{OM} = \text{ON} = \text{R})$ và $\text{OC}\bot\text{MN}$ nên OC là đường cao đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến ứng với cạnh MN

Suy ra C là trung điểm của MN.

Xét $\bigtriangleup \text{BMN}$ có BC là đường cao $(\text{BC}\bot\text{MN})$ và cũng là đường trung tuyến nên $\bigtriangleup \text{BMN}$ cân tại B (3)

$\Delta$ COM vuông tại C, có $\cos\widehat{COM} = \dfrac{OC}{OM} = \dfrac{\dfrac{1}{2}R}{R} = \dfrac{1}{2}$

$\left. \Rightarrow\widehat{\text{COM}} = 60^{{^\circ}} \right.$ nên $\widehat{\text{NOM}} = 2.60^{{^\circ}} = 120^{{^\circ}}$

Mà $\widehat{MBN} = \dfrac{1}{2}\widehat{\text{NOM}} = 60^{{^\circ}}$ (4)

Từ (3) và (4) suy ra $\bigtriangleup \text{MBN}$ đều.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link