Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $xyz = 1$. Chứng minh

Câu hỏi số 855925:

Vận dụng

Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $xyz = 1$. Chứng minh $\dfrac{x^{2}}{\sqrt{x^{3} + 8}} + \dfrac{y^{2}}{\sqrt{y^{3} + 8}} + \dfrac{z^{2}}{\sqrt{z^{3} + 8}} \geq 1$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:855925

Phương pháp giải

Theo bất đẳng thức AM-GM đánh giá $\dfrac{x^{2}}{\sqrt{x^{3} + 8}} \geq \dfrac{2x^{2}}{x^{2} - x + 6}$

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, kết hợp bất đẳng thức AM-GM cho ba số chứng minh bất đẳng thức.

Giải chi tiết

Theo bất đẳng thức AM-GM cho hai số thực dương ta có:

$\begin{array}{l} {\sqrt{x^{3} + 8} = \sqrt{\left( {x + 2} \right)\left( {x^{2} - 2x + 4} \right)} \leq \dfrac{\left( {x + 2} \right) + \left( {x^{2} - 2x + 4} \right)}{2} = \dfrac{x^{2} - x + 6}{2}} \\ \left. \Rightarrow\dfrac{x^{2}}{\sqrt{x^{3} + 8}} \geq \dfrac{2x^{2}}{x^{2} - x + 6} \right. \end{array}$

Tương tự $\dfrac{y^{2}}{\sqrt{y^{3} + 8}} \geq \dfrac{2y^{2}}{y^{2} - y + 6};\ \dfrac{z^{2}}{\sqrt{z^{3} + 8}} \geq \dfrac{2z^{2}}{z^{2} - z + 6}$. $\left. \ \Rightarrow\dfrac{x^{2}}{\sqrt{x^{3} + 8}} + \dfrac{y^{2}}{\sqrt{y^{3} + 8}} + \dfrac{z^{2}}{\sqrt{z^{3} + 8}} \geq \dfrac{2x^{2}}{x^{2} - x + 6} + \dfrac{2y^{2}}{y^{2} - y + 6} + \dfrac{2z^{2}}{z^{2} - z + 6}\text{.~} \right.$

Mặt khác, theo bât đăng thức Cauchy - Schwarz : $\begin{matrix} {\dfrac{2x^{2}}{x^{2} - x + 6} + \dfrac{2y^{2}}{y^{2} - y + 6} + \dfrac{2z^{2}}{z^{2} - z + 6} \geq \dfrac{2{(x + y + z)}^{2}}{x^{2} + y^{2} + z^{2} - \left( {x + y + z} \right) + 18}} \end{matrix}$ (1)

Ta chứng minh: $\dfrac{2{(x + y + z)}^{2}}{x^{2} + y^{2} + z^{2} - \left( {x + y + z} \right) + 18} \geq 1$

Ta có: (1) tương đương với $2{(x + y + z)}^{2} \geq x^{2} + y^{2} + z^{2} - \left( {x + y + z} \right) + 18$ $\left. \Leftrightarrow{(x + y + z)}^{2} + 2\left( {xy + yz + zx} \right) + \left( {x + y + z} \right) \geq 18 \right.$

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số $x + y + z \geq 3\sqrt[3]{xyz} = 3\ $

Và $xy + yz + zx \geq 3\sqrt[3]{xy.yz.zx} = 3$

Suy ra $\begin{matrix} {\dfrac{2x^{2}}{x^{2} - x + 6} + \dfrac{2y^{2}}{y^{2} - y + 6} + \dfrac{2z^{2}}{z^{2} - z + 6} \geq \dfrac{2{(x + y + z)}^{2}}{x^{2} + y^{2} + z^{2} - \left( {x + y + z} \right) + 18}} \end{matrix}$

Dấu bằng xảy ra khi $x = y = z = 1$.

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link