a) Tìm các số nguyên dương $a,b$ sao cho các số $8a^{3} + 18ab + 1$ và $8b^{3}

Câu hỏi số 855926:

Vận dụng

a) Tìm các số nguyên dương $a,b$ sao cho các số $8a^{3} + 18ab + 1$ và $8b^{3} + 18ab + 1$ đều là lập phương của số nguyên.

b) Cho tập hợp $S = \left\{ {x \in {\mathbb{Z}} \mid 1 \leq x \leq 15} \right\}$. Xét $T$ là một tập con của $S$ và có tính chất: với $a,b,c$ bất kì thuộc $T(a,b,c$ đôi một khác nhau) thì tích $abc$ không là số chính phương. Hỏi $T$ có nhiều nhất bao nhiêu phần tử? (Tập hợp $A$ được gọi là tập con của tập hợp $B$ nếu mọi phần tử của $A$ đều là phần tử của $B$).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:855926

Phương pháp giải

a) Kẹp giữa hai lập phương liên tiếp. Sử dụng tính chất chia hết hoặc đồng dư.

b) Phân loại các số trong $S = \left\{ 1,...,15 \right\}$ dựa trên "phần tử không chính phương”.

Xây dựng đồ thị hoặc các nhóm số mà tích của chúng là số chính phương.

Tìm tập độc lập cực đại trên đồ thị ràng buộc.

Giải chi tiết

a) Do $a,b$ vai trò như nhau, không mất tính tổng quát giả sử $a \geq b$.

Khi đó ${(2a)}^{3} < 8a^{3} + 18ab + 1 < 8a^{3} + 24a^{2} + 24a + 8 = {(2a + 2)}^{3}$.

(vì $18ab + 1 \leq 18a^{2} + 1 < 24a^{2}$)

Do đó $8a^{3} + 18ab + 1 = {(2a + 1)}^{3} = 8a^{3} + 12a^{2} + 6a + 1$.

Từ đó suy ra $3b = 2a + 1$ hay $2a = 3b - 1$.

Do đó $8b^{3} + 18ab + 1 = 8b^{3} + 27b^{2} - 9b + 1$ là lập phương của số nguyên.

Ta có: $8b^{3} < 8b^{3} + 27b^{2} - 9b + 1 < 8b^{3} + 36b^{2} + 54b + 27$.

Do đó ${(2b)}^{3} < 8b^{3} + 27b^{2} - 9b + 1 < {(2b + 3)}^{3}$.

Vì vậy $8b^{3} + 27b^{2} - 9b + 1 \in \left\{ {{(2b + 1)}^{3};{(2b + 2)}^{3}} \right\}$.

Mà $8b^{3} + 27b^{2} - 9b + 1 = 8b^{3} + 18ab + 1$ là số lẻ nên $8b^{3} + 27b^{2} - 9b + 1 = {(2b + 1)}^{3}$

Suy ra $15b^{2} - 15b = 0$.

Mà $b > 0$ nên $b = 1$.

Suy ra $a = \dfrac{3b - 1}{2} = 1$.

Vậy $a = b = 1$.

b) Ký hiệu $|T|$ là số phần tử của tập hợp $T$.

Xét 4 tập hợp $A = \left\{ {1;4;9} \right\},B = \left\{ {2;6;12} \right\},C = \left\{ {3;5;15} \right\},D = \left\{ {7;8;14} \right\}$ đều có tích 3 phần tử là số chính phương.

Nếu $|T| \geq 12$ thì tồn tại 1 tập trong 4 tập $A,B,C,D$ là tập con của $T$

Khi đó $T$ tồn tại 3 phần tử có tích là số chính phương.

Nếu $|T| = 11$. Khi đó $T = S\backslash\left\{ {a;b;c;d} \right\}$ mà $a \in A,b \in B,c \in C,d \in D$ (nếu không thì cũng tồn tại 1 tập trong $A,B,C,D$ là tập con của $T$).

Do đó $10 \in T$.

Xét 4 tập hợp $A = \left\{ {1;4;9} \right\};D = \left\{ {7;8;14} \right\};E = \left\{ {2;5;10} \right\}$ và $F = \left\{ {6;10;15} \right\}$ đều có tích ba phần tử là số chính phương.

Khi đó $T = S\backslash\left\{ {a;d;e;f} \right\}$ với $a \in A,d \in D,e \in \left\{ {2;5} \right\},f \in \left\{ {6;15} \right\}$.

Do đó $3,12 \in T$ suy ra $1,4,9 \notin T$ (vì $1.3.12 = 6^{2},4.3.12 = 12^{2},9.3.12 = 18^{2}$)

Khi đó $\left\{ {2;6;12} \right\}$ hoặc $\left\{ {3;5;15} \right\}$ là tập con của $T$.

Suy ra $T$ tồn tại 3 phần tử có tích là số chính phương. Vì vậy $|T| \leq 10$

Dấu bằng xảy ra chẳng hạn tại $T = \left\{ {1;4;5;6;7;10;11;12;13;14} \right\}$.

Vậy $T$ có nhiều nhất 10 phần tử.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link