Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f'(x).\left( {1 + e^{f{(x)}}}

Câu hỏi số 856208:

Vận dụng

Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f'(x).\left( {1 + e^{f{(x)}}} \right) = 2\left( {e^{2x} + 1} \right)$, $\forall x \in {\mathbb{R}}$ và $f(0) = 0$. Tính ${\int\limits_{1}^{3}{f(x)d}}x$.

Đáp án:

Đáp án đúng là: 8

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:856208

Phương pháp giải

Áp dụng công thức tính nguyên hàm của hàm hợp.

Giải chi tiết

Ta có: $f'(x).\left( {1 + e^{f{(x)}}} \right) = 2\left( {e^{2x} + 1} \right)$

$\left. \Leftrightarrow f'(x) + f'(x).e^{f{(x)}} = 2e^{2x} + 2 \right.$

$\left. \Leftrightarrow f(x) + {\int{f'(x).e^{f{(x)}}dx}} = 2{\int{e^{2x}dx}} + 2x \right.$

$\left. \Leftrightarrow f(x) + e^{f{(x)}} = e^{2x} + 2x + C \right.$

Vì $f(0) = 0$ nên $\left. 0 + e^{0} = e^{0} + 2.0 + C\Rightarrow C = 0 \right.$

$\left. \Rightarrow f(x) + e^{f{(x)}} = 2x + e^{2x} \right.$

Xét $g(t) = e^{t} + t$ có: $\left. g'(t) = e^{t} + 1 > 0\Rightarrow g(t) \right.$ đồng biến

$\left. \Rightarrow f(x) = 2x \right.$$\left. \Rightarrow{\int\limits_{1}^{3}{f(x)d}}x = {\int\limits_{1}^{3}{2xd}}x = 8 \right.$

Đáp án cần điền là: 8

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.