Cho phương trình bậc hai: $x^{2} - x + m - 2 = 0$a) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm $x_{1},x_{2}$

Câu hỏi số 856325:

Vận dụng

Cho phương trình bậc hai: $x^{2} - x + m - 2 = 0$

a) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm $x_{1},x_{2}$ thỏa mãn $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 3m$

b) Khi $m = 1$, gọi $x_{1},x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình. Tính giá trị biểu thức $S = \dfrac{2023}{x_{1}^{7} + 7} + \dfrac{2023}{x_{2}^{7} + 7}$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:856325

Phương pháp giải

a) Sử dụng định lý Viète. Tìm điều kiện $\Delta \geq 0$ để phương trình có nghiệm. Biến đổi biểu thức $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ thành ${(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2x_{1}x_{2}$ để thay tổng và tích nghiệm vào.

b) Thay $m = 1$, sử dụng định lý Viète tính $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$; $x_{1}^{3} + x_{2}^{3}$; $x_{1}^{5} + x_{2}^{5}$; $x_{1}^{7} + x_{2}^{7}$ từ đó tính S

Giải chi tiết

a) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm là: $\left. \text{Δ} \geq 0\Leftrightarrow 1 - 4\left( {m - 2} \right) \geq 0\Leftrightarrow m \leq \dfrac{9}{4} \right.$

+ Áp dụng định lý Vi-et ta có $\left\{ \begin{array}{l} {x_{1} + x_{2} = 1} \\ {x_{1} \cdot x_{2} = m - 2} \end{array} \right.$

+ Khi đó $\left. x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 3m\Leftrightarrow\left( {x_{1} + x_{2}} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2} = 3m \right.$

$\left. \Leftrightarrow 1 - 2\left( {m - 2} \right) = 3m\Leftrightarrow 5m = 5\Leftrightarrow m = 1 \right.$ (thỏa mãn)

b) Với $m = 1$ phương trình trở thành $x^{2} - x - 1 = 0$

+ Theo định lý Vi-et ta có $\left\{ \begin{array}{l} {x_{1} + x_{2} = 1} \\ {x_{1}x_{2} = - 1} \end{array} \right.$

Khi đó ta có

$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = \left( {x_{1} + x_{2}} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2} = 1^{2} - 2.\left( {- 1} \right) = 3$.

$x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = \left( {x_{1} + x_{2}} \right)^{3} - 3x_{1}x_{2}\left( {x_{1} + x_{2}} \right) = 1^{3} - 3 \cdot \left( {- 1} \right) \cdot 1 = 4$.

$x_{1}^{5} + x_{2}^{5} = \left( {x_{1}^{3} + x_{2}^{3}} \right)\left( {x_{1}^{2} + x_{2}^{2}} \right) - x_{1}^{2}x_{2}^{2}\left( {x_{1} + x_{2}} \right) = 11$

$x_{1}^{7} + x_{2}^{7} = \left( {x_{1}^{5} + x_{2}^{5}} \right)\left( {x_{1}^{2} + x_{2}^{2}} \right) - x_{1}^{2}x_{2}^{2}\left( {x_{1}^{3} + x_{2}^{3}} \right) = 29$

Thay vào $S = \dfrac{2023}{x_{1}^{7} + 7} + \dfrac{2023}{x_{2}^{7} + 7} = \dfrac{2023\left( {x_{1}^{7} + x_{2}^{7}} \right) + 14.2023}{x_{1}^{7}x_{2}^{7} + 7\left( {x_{1}^{7} + x_{2}^{7}} \right) + 49}$

$= \dfrac{2023.29 + 14.2023}{- 1 + 7.29 + 49} = \dfrac{86989}{251}$

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link