Cho phương trình bậc hai: $x^{2} - x + m - 2 = 0$a) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm $x_{1},x_{2}$

Câu hỏi số 856325:

Vận dụng

Cho phương trình bậc hai: $x^{2} - x + m - 2 = 0$

a) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm $x_{1},x_{2}$ thỏa mãn $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 3m$

b) Khi $m = 1$, gọi $x_{1},x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình. Tính giá trị biểu thức $S = \dfrac{2023}{x_{1}^{7} + 7} + \dfrac{2023}{x_{2}^{7} + 7}$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:856325

Phương pháp giải

a) Sử dụng định lý Viète. Tìm điều kiện $\Delta \geq 0$ để phương trình có nghiệm. Biến đổi biểu thức $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ thành ${(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2x_{1}x_{2}$ để thay tổng và tích nghiệm vào.

b) Thay $m = 1$, sử dụng định lý Viète tính $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$; $x_{1}^{3} + x_{2}^{3}$; $x_{1}^{5} + x_{2}^{5}$; $x_{1}^{7} + x_{2}^{7}$ từ đó tính S

Giải chi tiết

a) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm là: $\left. \text{Δ} \geq 0\Leftrightarrow 1 - 4\left( {m - 2} \right) \geq 0\Leftrightarrow m \leq \dfrac{9}{4} \right.$

+ Áp dụng định lý Vi-et ta có $\left\{ \begin{array}{l} {x_{1} + x_{2} = 1} \\ {x_{1} \cdot x_{2} = m - 2} \end{array} \right.$

+ Khi đó $\left. x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 3m\Leftrightarrow\left( {x_{1} + x_{2}} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2} = 3m \right.$

$\left. \Leftrightarrow 1 - 2\left( {m - 2} \right) = 3m\Leftrightarrow 5m = 5\Leftrightarrow m = 1 \right.$ (thỏa mãn)

b) Với $m = 1$ phương trình trở thành $x^{2} - x - 1 = 0$

+ Theo định lý Vi-et ta có $\left\{ \begin{array}{l} {x_{1} + x_{2} = 1} \\ {x_{1}x_{2} = - 1} \end{array} \right.$

Khi đó ta có

$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = \left( {x_{1} + x_{2}} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2} = 1^{2} - 2.\left( {- 1} \right) = 3$.

$x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = \left( {x_{1} + x_{2}} \right)^{3} - 3x_{1}x_{2}\left( {x_{1} + x_{2}} \right) = 1^{3} - 3 \cdot \left( {- 1} \right) \cdot 1 = 4$.

$x_{1}^{5} + x_{2}^{5} = \left( {x_{1}^{3} + x_{2}^{3}} \right)\left( {x_{1}^{2} + x_{2}^{2}} \right) - x_{1}^{2}x_{2}^{2}\left( {x_{1} + x_{2}} \right) = 11$

$x_{1}^{7} + x_{2}^{7} = \left( {x_{1}^{5} + x_{2}^{5}} \right)\left( {x_{1}^{2} + x_{2}^{2}} \right) - x_{1}^{2}x_{2}^{2}\left( {x_{1}^{3} + x_{2}^{3}} \right) = 29$

Thay vào $S = \dfrac{2023}{x_{1}^{7} + 7} + \dfrac{2023}{x_{2}^{7} + 7} = \dfrac{2023\left( {x_{1}^{7} + x_{2}^{7}} \right) + 14.2023}{x_{1}^{7}x_{2}^{7} + 7\left( {x_{1}^{7} + x_{2}^{7}} \right) + 49}$

$= \dfrac{2023.29 + 14.2023}{- 1 + 7.29 + 49} = \dfrac{86989}{251}$

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link