Cho hình thang $ABCD$, vuông tại $A$ và $D,AD = CD = \dfrac{1}{2}AB$. Gọi $O_{1},O_{2}$ lần lượt là trung

Câu hỏi số 856327:

Vận dụng

Cho hình thang $ABCD$, vuông tại $A$ và $D,AD = CD = \dfrac{1}{2}AB$. Gọi $O_{1},O_{2}$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$ và $E,F$ là trung điểm các đoạn $AO_{1}$ và $DO_{2}$. Trên đoạn thẳng $EF$ lấy các điểm $M,N$ sao cho $\widehat{AMB} = \widehat{CND} = 90^{\circ}$.

a) Chứng minh tứ giác $ABCM$ nội tiếp.

b) Gọi $S$ là giao điểm của $AD$ và $BC$. Chứng minh các đường thẳng $BC,EF$ và $O_{1}O_{2}$ đồng quy tại $S$.

c) Chứng minh bốn điểm $A,D,M,N$ cùng thuộc một đường tròn.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:856327

Phương pháp giải

a) Từ các tam giác vuông suy ra 3 điểm cùng thuộc đường tròn đường kính là cạnh huyền

b) Chứng minh từng đường thẳng đi qua S từ đó suy ra đồng quy

c) Chứng minh $\widehat{MND} = \widehat{MAD}$ từ đó suy ra tứ giác $ADMN$ nội tiếp

Giải chi tiết

a) Ta có $\widehat{AMB} = 90^{\circ}$ nên $M$ thuộc đường tròn đường kính $AB$ (1)

Dễ thấy tứ giác $ABCD$ là hình thang vuông và $CD = DA = \dfrac{1}{2}AB$ nên $ADCO_{1}$ là hình vuông và $BCDO_{1}$ là hình bình hành.

$\left. \Rightarrow AC\bot DO_{1} \right.$ và $DO_{1} \parallel BC$ nên $AC\bot BC$

Vậy $C$ thuộc đường tròn đường kính $AB$

Từ (1) và (2) suy ra hai điểm $M,C$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AB$.

Do đó tứ giác $ABCM$ nội tiếp.

b) Theo giả thiết ta có $BC$ đi qua $S$ (1)

Ta có $D \in SA,C \in SB$ và $DC \parallel AB;DC = \dfrac{1}{2}AB$ nên $DC$ là đường trung bình của $\Delta SAB$.

Suy ra $D,C$ lần lượt là trung điểm $SA,SB$

Xét $\Delta SBE$ ta có $C$ là trung điểm $SB$ và $CF \parallel BE$

$\left. \Rightarrow CO_{2} \right.$ là đường trung bình của $\Delta SBO_{1}$

$\left. \Rightarrow O_{2} \right.$ là trung điểm của $SO_{1}$.

Vậy $O_{1}O_{2}$ đi qua $S$ (2)

Xét $\Delta SBO_{1}$ ta có $C$ là trung điểm $SB$ và $CO_{2} \parallel BO_{1}$

$\left. \Rightarrow CF \right.$ là đường trung bình của $\Delta SBE$

$\left. \Rightarrow F \right.$ là trung điếm của $SE$.

Vậy $EF$ đi qua $S$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra $BC,EF$ và $O_{1}O_{2}$ đồng quy tại $S$

c) Gọi $K$ là giao điểm của $EF$ với đường tròn đường kính $CDH$ là giao điểm của $\text{KO}_{2}$ với AB

Ta có $K \in SM,O_{2}$ là trung điểm $SO_{1}$ và $KO_{2} = \dfrac{1}{2}O_{1}M$ nên $KO_{2}$ là đường trung bình của $\Delta SO_{1}M$$\left. \Rightarrow KO_{2} \parallel MO_{1} \right.$

$\widehat{KO_{2}D} = \widehat{KHA} = \widehat{MO_{1}A}$ (đồng vị)

Mà $\widehat{KO_{2}D} = 2\widehat{KND}$ và $\widehat{MO_{1}A} = 2\widehat{MAD}$ $\left. \Rightarrow\widehat{KND} = \widehat{MAD} \right.$ hay $\widehat{MND} = \widehat{MAD}$

Vậy tứ giác $ADMN$ nội tiếp hay bốn điểm $A,D,M,N$ cùng thuộc một đường tròn.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link