Cho tam giác $ABC$ vuông ở $A(AB < AC)$. Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác $ABC$, tiếp xúc với

Câu hỏi số 856482:

Vận dụng

Cho tam giác $ABC$ vuông ở $A(AB < AC)$. Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác $ABC$, tiếp xúc với các cạnh $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$. Gọi $S$ là giao điểm của $AI$ và $DE$.

a) Chứng minh $IECD$ là tứ giác nội tiếp.

b) Gọi $K,O$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $BC$. Chứng minh $K,O,S$ thẳng hàng.

c) Gọi $M$ là giao điểm của $KI$ và $AC$. Đường thẳng chứa đường cao $AH$ của tam giác $ABC$ cắt đường thẳng $DE$ tại $N$. Chứng minh $\widehat{HNM} = \widehat{EMN}$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:856482

Phương pháp giải

a) Chứng minh E, D cùng thuộc đường tròn đường kính IC

b) Chứng minh $\widehat{AES} = \widehat{AIB}$ và $\left. \Delta IAE \right.\sim\Delta BAS$ suy ra S nằm trên đường trung trực của $AB$.

c) Chứng minh $\dfrac{ID}{AN} = \dfrac{FI}{AM}$ suy ra tam giác $AMN$ cân

Giải chi tiết

a) Ta có $\left. \widehat{IEC} = \widehat{IDC} = 90^{\circ}\Rightarrow \right.$ E, D cùng thuộc đường tròn đường kính IC

Vậy tứ giác $IECD$ nội tiếp.

b) Gọi $K,O$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $BC$.

Chứng minh $K,O,S$ thẳng hàng.

Ta có: $\widehat{AES} = 180^{\circ} - \widehat{DEC} = 180^{\circ} - \dfrac{180^{\circ} - \widehat{ECD}}{2} = 90^{\circ} + \dfrac{\widehat{ECD}}{2}$

Mặt khác: $\widehat{AIB} = 180^{\circ} - \widehat{IAB} - \widehat{IBA} = 180^{\circ} - \dfrac{\widehat{CAB} + \widehat{ABC}}{2} = 90^{\circ} + \dfrac{\widehat{ECD}}{2}$

Suy ra $\widehat{AES} = \widehat{AIB}$.

Xét tam giác $IAB$ và tam giác $EAS$ có $\widehat{IAB} = \widehat{SAE} = 45^{\circ}$ và $\widehat{AES} = \widehat{AIB}$.

$\left. \left. \Rightarrow\Delta IAB \right.\sim\Delta EAS\Rightarrow\dfrac{IA}{AB} = \dfrac{EA}{AS} \right.$

Mà $\left. \widehat{IAB} = \widehat{SAE}\Rightarrow\Delta IAE \right.\sim\Delta BAS$.

Vì tam giác $IAE$ vuông cân tại $E$ nên tam giác $ABS$ vuông cân tại S , suy ra S nằm trên đường trung trực của $AB$ suy ra $K,O,S$ thẳng hàng.

c) Vì $\left. ID//AN\Rightarrow\dfrac{ID}{AN} = \dfrac{SI}{SA} \right.$

$\left. KS//AM\Rightarrow\dfrac{IK}{KM} = \dfrac{SI}{SA} \right.$

$\left. IF//AM\Rightarrow\dfrac{IK}{KM} = \dfrac{FI}{AM}\Rightarrow\dfrac{ID}{AN} = \dfrac{FI}{AM} \right.$ mà $\left. ID = FI\Rightarrow AM = AN \right.$

Suy ra tam giác $AMN$ cân

Vậy: $\widehat{HNM} = \widehat{EMN}$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link