Cho $x,y > 0$ thỏa mãn $x + y < 1$. Chứng minh $\dfrac{x^{2}}{1 - x} + \dfrac{y^{2}}{1 - y} + \dfrac{1}{x +

Câu hỏi số 856483:

Vận dụng

Cho $x,y > 0$ thỏa mãn $x + y < 1$. Chứng minh $\dfrac{x^{2}}{1 - x} + \dfrac{y^{2}}{1 - y} + \dfrac{1}{x + y} + x + y \geq \dfrac{5}{2}$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:856483

Phương pháp giải

Sử dụng $\left( {a + b + c} \right)\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right) \geq 9$ và Áp dụng BĐT AM-GM để chứng minh

Giải chi tiết

Ta có: $\dfrac{x^{2}}{1 - x} = \dfrac{1}{1 - x} - x - 1,\dfrac{y^{2}}{1 - y} = \dfrac{1}{1 - y} - y - 1$

BĐT trở thành: $\left. \dfrac{1}{1 - x} + \dfrac{1}{1 - y} + \dfrac{1}{x + y} - 2 \geq \dfrac{5}{2}\Leftrightarrow\dfrac{1}{1 - x} + \dfrac{1}{1 - y} + \dfrac{1}{x + y} \geq \dfrac{9}{2} \right.$

Chứng minh BĐT: $\left( {a + b + c} \right)\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right) \geq 9$ với $a,b,c > 0$

Áp dụng BĐT AM-GM ta có: $a + b + c \geq 3\sqrt[3]{abc}$ và $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \geq 3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}$

$\left. \Rightarrow\left( {a + b + c} \right)\left( {\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}} \right) \geq 9 \right.$

Dấu bằng xảy ra khi $a = b = c$ Áp dụng BĐT vừa CM ta có:

$\left( {1 - x + 1 - y + x + y} \right)\left( {\dfrac{1}{1 - x} + \dfrac{1}{1 - y} + \dfrac{1}{x + y}} \right) \geq 9$

Dấu bằng xảy ra khi $\left. 1 - x = 1 - y = x + y\Leftrightarrow x = y = \dfrac{1}{3} \right.$

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link