Với $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn $\dfrac{3}{8} < a < 1;\dfrac{1}{3} < b < 1;\dfrac{1}{8} <

Câu hỏi số 857295:

Vận dụng

Với $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn $\dfrac{3}{8} < a < 1;\dfrac{1}{3} < b < 1;\dfrac{1}{8} < c < 1$. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = 4\text{log}_{a}\left( {\dfrac{3b}{4} - \dfrac{1}{4}} \right) + 3\text{log}_{b}\left( {\dfrac{c}{2} - \dfrac{1}{16}} \right) + 6\text{log}_{c}\left( {\dfrac{a}{2} - \dfrac{3}{16}} \right)$

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:857295

Phương pháp giải

Đánh giá $b^{3} \geq \dfrac{3b - 1}{4}$; $c^{2} \geq \dfrac{8c - 1}{16}$ và $a^{4} \geq \dfrac{8a - 3}{16}$ tìm GTNN của P

Giải chi tiết

$\begin{array}{l} {P = 4\text{log}_{a}\left( {\dfrac{3b}{4} - \dfrac{1}{4}} \right) + 3\text{log}_{b}\left( {\dfrac{c}{2} - \dfrac{1}{16}} \right) + 6\text{log}_{c}\left( {\dfrac{a}{2} - \dfrac{3}{16}} \right)} \\ {P = 4\text{log}_{a}\left( \dfrac{3b - 1}{4} \right) + 3\text{log}_{b}\left( \dfrac{8c - 1}{16} \right) + 6\text{log}_{c}\left( \dfrac{8a - 3}{16} \right)} \end{array}$

Ta có $b^{3} - \dfrac{3b - 1}{4} = \dfrac{4b^{3} - 3b + 1}{4} = \dfrac{\left( {b + 1} \right)\left( {2b - 1} \right)^{2}}{4} \geq 0$ với mọi $\dfrac{1}{3} < b < 1$ nên $b^{3} \geq \dfrac{3b - 1}{4}$

Tương tự $\left. c^{2} - \dfrac{8c - 1}{16} = \dfrac{16c^{2} - 8c + 1}{16} = \dfrac{\left( {4c - 1} \right)^{2}}{16} \geq 0\Rightarrow c^{2} \geq \dfrac{8c - 1}{16} \right.$

$\left. a^{4} - \dfrac{8a - 3}{16} = \dfrac{16a^{4} - 8a + 3}{16} = \dfrac{\left( {2a - 1} \right)^{2}\left( {4a^{2} + 4a + 3} \right)}{16} \geq 0\Rightarrow a^{4} \geq \dfrac{8a - 3}{16} \right.$

Khi đó

$\begin{array}{l} {P = 4\text{log}_{a}\left( \dfrac{3b - 1}{4} \right) + 3\text{log}_{b}\left( \dfrac{8c - 1}{16} \right) + 6\text{log}_{c}\left( \dfrac{8a - 3}{16} \right)} \\ {\geq 4\text{log}_{a}b^{3} + 3\text{log}_{b}c^{2} + 6\text{log}_{c}a^{4}} \\ {\geq 12\text{log}_{a}b + 6\text{log}_{b}c + 24\text{log}_{c}a} \\ {\geq 3\sqrt[3]{12\text{log}_{a}b.6\text{log}_{b}c.24\text{log}_{c}a}} \\ {\geq 36} \end{array}$

Vậy $P_{\min} = 36$ khi $a = b = \dfrac{1}{2};c = \dfrac{1}{4}$

Đáp án cần điền là: 36

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.