Cho biểu thức $A = \dfrac{x\sqrt{x} + 5\sqrt{x} + 6}{x - 2\sqrt{x} - 3} - \dfrac{x - 7\sqrt{x} - 8}{x + 2\sqrt{x} +

Câu hỏi số 858246:

Vận dụng

Cho biểu thức $A = \dfrac{x\sqrt{x} + 5\sqrt{x} + 6}{x - 2\sqrt{x} - 3} - \dfrac{x - 7\sqrt{x} - 8}{x + 2\sqrt{x} + 1} - \dfrac{2x + 10\sqrt{x} + 12}{x - \sqrt{x} - 6}\ $ với $x \geq 0,x \neq 9$.

1. Rút gọn biểu thức $A$.

2. Tìm tất cả các giá trị của $x$ để $\dfrac{4}{A}$ nhận giá trị nguyên.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:858246

Phương pháp giải

1. Phân tích các mẫu thức thành nhân tử để tìm mẫu thức chung.

Phân tích các tử thức thành nhân tử (nếu có thể) để rút gọn bớt với mẫu thức riêng lẻ.

Quy đồng và thực hiện phép cộng trừ các phân thức.

2. Tìm giá trị nguyên: Biến đổi biểu thức $P = \dfrac{4}{A}$ về dạng đơn giản.

Đánh giá miền giá trị của $P$ (dùng bất đẳng thức Cô-si hoặc xét hàm số).

Tìm các giá trị nguyên của $P$ trong miền giá trị đó, từ đó giải phương trình tìm $x$ và đối chiếu điều kiện.

Giải chi tiết

1. $A = \dfrac{\left( {\sqrt{x} + 1} \right)\left( {x - \sqrt{x} + 6} \right)}{\left( {\sqrt{x} + 1} \right)\left( {\sqrt{x} - 3} \right)} - \dfrac{\left( {\sqrt{x} + 1} \right)\left( {\sqrt{x} - 8} \right)}{{(\sqrt{x} + 1)}^{2}} - \dfrac{2\left( {\sqrt{x} + 3} \right)\left( {\sqrt{x} + 2} \right)}{\left( {\sqrt{x} - 3} \right)\left( {\sqrt{x} + 2} \right)}$

$= \dfrac{x - \sqrt{x} + 6}{\sqrt{x} - 3} - \dfrac{\sqrt{x} - 8}{\sqrt{x} + 1} - \dfrac{2\left( {\sqrt{x} + 3} \right)}{\sqrt{x} - 3}$

$= \dfrac{x - 3\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 3} - \dfrac{\sqrt{x} - 8}{\sqrt{x} + 1}$

$= \sqrt{x} - \dfrac{\sqrt{x} - 8}{\sqrt{x} + 1} = \dfrac{x + 8}{\sqrt{x} + 1}$.

2. Ta có $A = \dfrac{x + 8}{\sqrt{x} + 1} = \dfrac{x - 1 + 9}{\sqrt{x} + 1} = \sqrt{x} - 1 + \dfrac{9}{\sqrt{x} + 1} = \sqrt{x} + 1 + \dfrac{9}{\sqrt{x} + 1} - 2$

Theo BĐT Côsi, ta có $A = \sqrt{x} + 1 + \dfrac{9}{\sqrt{x} + 1} - 2 \geq 2\sqrt{9} - 2 = 4$

Suy ra $A \geq 4$ nên $0 < \dfrac{4}{A} \leq 1$

Để $\dfrac{4}{A} \in {\mathbb{Z}}$ thì $\left. \dfrac{4}{A} = 1\Leftrightarrow A = 4\Leftrightarrow\sqrt{x} + 1 = \dfrac{9}{\sqrt{x} + 1}\Leftrightarrow x = 4 \right.$ (thỏa mãn).

Vậy $x = 4$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link