Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho parabol $(P)$ có phương trình $y = ax^{2}$ và

Câu hỏi số 858247:

Vận dụng

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho parabol $(P)$ có phương trình $y = ax^{2}$ và đường thẳng $(d)$ có phương trình $y = bx - 1$ (với $a,b$ là các tham số). Tìm các số hữu tỉ $a,b$ để đường thẳng $(d)$ cắt parabol $(P)$ tại hai điểm phân biệt sao cho hoành độ một điểm là $x = \dfrac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}}$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:858247

Phương pháp giải

Rút gọn giá trị hoành độ giao điểm $x_{0}$ đã cho.

Thiết lập phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$: $ax^{2} - bx + 1 = 0$.

Thay $x_{0}$ vào phương trình.

Giải chi tiết

Ta có $x = \dfrac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \dfrac{{(\sqrt{5} - \sqrt{3})}^{2}}{\left( {\sqrt{5} + \sqrt{3}} \right)\left( {\sqrt{5} - \sqrt{3}} \right)} = 4 - \sqrt{15}$

Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ là: $ax^{2} - bx + 1 = 0$ (*).

Điều kiện để đường thẳng $(d)$ cắt parabol $(P)$ tại hai điểm phân biệt: $\left\{ \begin{array}{l} {a \neq 0} \\ {b^{2} - 4a > 0} \end{array} \right.$

Vì phương trình (*) có nghiệm $x = 4 - \sqrt{15}$ nên

$a{(4 - \sqrt{15})}^{2} - b\left( {4 - \sqrt{15}} \right) + 1 = 0$

$\left. \Leftrightarrow\sqrt{15}\left( {- 8a + b} \right) + 31a - 4b + 1 = 0 \right.$

Vì $a,b \in Q$ nên $\left( {- 8a + b} \right),\left( {31a - 4b + 1} \right) \in Q$

Nếu $8a - b \neq 0$ thì $\sqrt{15} = \dfrac{31a - 4b + 1}{8a - b} \in Q$ (vô lí)

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l} {8a - b = 0} \\ {31a - 4b + 1 = 0} \end{array}\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {a = 1} \\ {b = 8} \end{array} \right. \right.$ (thỏa mãn)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link