1. Giải phương trình $\sqrt{x^{3} + 1} + x^{2} - 3x - 1 = 0$2. Giải hệ phương trình $\left\{

Câu hỏi số 858248:

Vận dụng

1. Giải phương trình $\sqrt{x^{3} + 1} + x^{2} - 3x - 1 = 0$

2. Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} {\sqrt{x + 1} + \sqrt{y^{2} + 4} + \sqrt{y} = 4} \\ {2\sqrt{xy^{2} + 4x + y^{2} + 4} - y + 4\sqrt{y} = 8} \end{array} \right.$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:858248

Phương pháp giải

1. Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn hoặc đặt hai ẩn phụ đưa về phương trình đẳng cấp.

Đặt $u = \sqrt{2x^{2} + 1}$ và $v = x + 1$.

Biểu diễn phương trình ban đầu theo $u$ và $v$.

Giải phương trình tích để tìm mối liên hệ giữa $x$.

2. Biến đổi phương trình (1) để thế vào phương trình (2) hoặc cộng đại số để xuất hiện nhân tử chung.

Giải chi tiết

1. Điều kiện: $\left. x^{3} + 1 \geq 0\Leftrightarrow x \geq - 1 \right.$.

$\begin{array}{l} {\sqrt{x^{3} + 1} + x^{2} - 3x - 1 = 0} \\ \left. \Leftrightarrow\sqrt{\left( {x + 1} \right)\left( {x^{2} - x + 1} \right)} + \left( {x^{2} - x + 1} \right) - 2\left( {x + 1} \right) = 0 \right. \end{array}$

Đặt $u = \sqrt{x + 1};v = \sqrt{x^{2} - x + 1};u \geq 0,v > 0$

Phương trình đã cho trở thành: $\left. uv + v^{2} - 2u^{2} = 0\Leftrightarrow\left( {u - v} \right)\left( {2u + v} \right) = 0 \right.$

$\left. \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {u - v = 0} \\ {2u + v = 0} \end{array}\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {u = v} \\ {2u = - v} \end{array} \right. \right. \right.$

Với $u = v$ ta được $\left. \sqrt{x^{2} - x + 1} = \sqrt{x + 1}\Leftrightarrow x^{2} - 2x = 0\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x = 0} \\ {x = 2} \end{array} \right. \right.$ (thỏa mãn phương trình)

Với $2u = - v$ ta được $2\sqrt{x + 1} = - \sqrt{x^{2} - x + 1}$ (vô nghiệm).

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt $x = 0$ và $x = 2$

2. Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l} {x \geq - 1} \\ {y \geq 0} \end{array} \right.$

Từ (1): $\sqrt{y} - 2 = 2 - \sqrt{x + 1} - \sqrt{y^{2} + 4}$

Từ (2): $2\sqrt{xy^{2} + 4x + y^{2} + 4} - y + 4\sqrt{y} = 8$

$\left. \Leftrightarrow 2\sqrt{xy^{2} + 4x + y^{2} + 4} - \left( {\sqrt{y} - 2} \right)^{2} = 4 \right.$

Thế (1) vào (2) ta được: $\left. \Leftrightarrow 2\sqrt{xy^{2} + 4x + y^{2} + 4} - \left( {2 - \sqrt{x + 1} - \sqrt{y^{2} + 4}} \right)^{2} = 4 \right.$ $\left. \Leftrightarrow 2\sqrt{\left( {x + 1} \right)\left( {y^{2} + 4} \right)} - \left( {4 - 4\sqrt{x + 1} - 4\sqrt{y^{2} + 4} + 2\sqrt{\left( {x + 1} \right)\left( {y^{2} + 4} \right)} + \left( {x + 1} \right) + \left( {y^{2} + 4} \right)} \right) = 4 \right.$

$\left. \Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {\sqrt{x + 1} - 2 = 0} \\ {\sqrt{y^{2} + 4} - 2 = 0} \end{array}\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {x = 3} \\ {y = 0} \end{array} \right. \right. \right.$ (thỏa mãn).

Vậy hệ phương trình có nghiệm $\left( {x;y} \right) = \left( {3;0} \right)$.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link