Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Các đường cao $AD,BE,CF$ của tam giác $ABC$
Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Các đường cao $AD,BE,CF$ của tam giác $ABC$ cắt nhau tại $H$.
1. Chứng minh $DA$ là tia phân giác của góc $EDF$.
2. Chứng minh $\dfrac{HD}{AD} + \dfrac{HE}{BE} + \dfrac{HF}{CF} = 1$.
3. Gọi $M$ là giao điểm của tia $EF$ với đường tròn $(O)$. Gọi $P,Q$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $BMF$ và tam giác $CME$. Chứng minh $AM\bot PQ$.
4. Tìm mối liên hệ giữa các cạnh của tam giác $ABC$ để biểu thức $\dfrac{{(AB + BC + CA)}^{2}}{AD^{2} + BE^{2} + CF^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Quảng cáo
Phân giác: Chứng minh các tứ giác nội tiếp $BFHD, CDHE$ để suy ra các góc bằng nhau.
Tỉ số đoạn thẳng: Sử dụng công thức diện tích tam giác: $\dfrac{S_{HBC}}{S_{ABC}} = \dfrac{HD}{AD}$.
Vuông góc: Sử dụng tính chất tiếp tuyến và trục đẳng phương hoặc cộng góc.
Cực trị hình học: Sử dụng bất đẳng thức Đại số kết hợp hệ thức lượng trong tam giác vuông.
1. Chứng minh $DA$ là tia phân giác của góc $EDF$.
Vì $\widehat{BFH} = \widehat{BDH} = 90^{\circ}$ nên F, D cùng thuộc đường tròn đường kính BH
Vậy $BFHD$ là tứ giác nội tiếp $\widehat{HDF} = \widehat{HBF}$
Tương tự, $CEHD$ là tứ giác nội tiếp $\left. \Rightarrow\widehat{HDE} = \widehat{HCE} \right.$
$BCEF$ là tứ giác nội tiếp ⇒ $\widehat{HBF} = \widehat{HCE}$
Suy ra $\widehat{HDE} = \widehat{HDF}$ nên $DA$ là tia phân giác của góc $EDF$.
2. Chứng minh $\dfrac{HD}{AD} + \dfrac{HE}{BE} + \dfrac{HF}{CF} = 1$.
Ta có: $\dfrac{HD}{AD} + \dfrac{HE}{BE} + \dfrac{HF}{CF} = \dfrac{\dfrac{1}{2}HD \cdot BC}{\dfrac{1}{2}AD \cdot BC} + \dfrac{\dfrac{1}{2}HE \cdot AC}{\dfrac{1}{2}BE \cdot AC} + \dfrac{\dfrac{1}{2}HF \cdot AB}{\dfrac{1}{2}CF \cdot AB}$
$= \dfrac{S_{HBC}}{S_{ABC}} + \dfrac{S_{HAC}}{S_{ABC}} + \dfrac{S_{HAB}}{S_{ABC}}$
$= \dfrac{S_{HBC} + S_{HAC} + S_{HAB}}{S_{ABC}}$
$= \dfrac{S_{ABC}}{S_{ABC}} = 1$.
3. Gọi $M$ là giao điểm của tia $EF$ với đường tròn $(O)$. Gọi $P,Q$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $BMF$ và tam giác $CME$. Chứng minh $AM\bot PQ$.
Ta có : $\widehat{AEM} = \widehat{ABC}$ (do tứ giác $BCEF$ nội tiếp)
$\widehat{ABC} = \widehat{AMC}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AC của $(O)$
$\left. \Rightarrow\widehat{AEM} = \widehat{AMC} \right.$
$\left. \Rightarrow\Delta AEM \right.\sim\Delta AMC\left( {g.g} \right)$
$\left. \Rightarrow\widehat{AME} = \widehat{ECM} = \dfrac{1}{2}sdME \right.$ của đường tròn $(Q)$ nên $AM$ là tiếp tuyến của $(Q)$
$\left. \Rightarrow AM\bot QM \right.$
Vì $\widehat{AMF} = \widehat{ACM}$, mà $\widehat{ABM} = \widehat{ACM} = \dfrac{1}{2}sd\widehat{MA}$ của đường tròn $(O)$
$\left. \Rightarrow\widehat{AMF} = \widehat{FBM} = \dfrac{1}{2}sdMF \right.$ của đường tròn $(P)$ nên AM là tiếp tuyến của $(P)$
Vì $AM\bot PM$ và $AM\bot QM$ nên ba điềm $P,Q,M$ thẳng hàng.
Suy ra $AM\bot PQ$.
4. Tìm mối liên hệ giữa các cạnh của tam giác $ABC$ để biểu thức $\dfrac{{(AB + BC + CA)}^{2}}{AD^{2} + BE^{2} + CF^{2}}$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Vẽ $Cx\bot CF$. Gọi $N$ là điểm đối xứng của $A$ qua $Cx$
Vì $\left. AN//CF\Rightarrow\widehat{BAN} = 90^{\circ},CN = AC,AN = 2CF \right.$.
Ta luôn có $BN \leq BC + CN$
$\Delta ABN$ vuông tại $A$ nên: $\left. AB^{2} + AN^{2} = BN^{2}\Rightarrow AB^{2} + 4CF^{2} \leq {(BC + CN)}^{2} \right.$
$\begin{matrix} \left. \Rightarrow 4CF^{2} \leq {(BC + AC)}^{2} - AB^{2}\,\,\,\,\,\,\,(5) \right. \end{matrix}$
Tương tự: $4AD^{2} \leq {(AB + AC)}^{2} - BC^{2}$ và $4BE^{2} \leq {(AB + BC)}^{2} - AC^{2}$
Suy ra $4\left( {AD^{2} + BE^{2} + CF^{2}} \right) \leq {(AB + BC + AC)}^{2}$ hay $\dfrac{{(AB + BC + CA)}^{2}}{AD^{2} + BE^{2} + CF^{2}} \geq 4$
Đẳng thức (5) xảy ra khi $B,C,N$ thẳng hàng $\left. AC = \dfrac{1}{2}BN\Rightarrow BC = AC \right.$.
Vì vậy biểu thức đã cho đạt giá trị nhỏ nhất khi $AB = AC = BC$ hay $ABC$ là tam giác đều.
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
