Cho $a,b,c$ là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện $abc \geq 1$. Tìm giá trị lớn nhất của

Câu hỏi số 858251:

Vận dụng

Cho $a,b,c$ là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện $abc \geq 1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \dfrac{1}{a^{2} + 1 + bc} + \dfrac{1}{b^{2} + 1 + ac} + \dfrac{1}{ab\left( {c^{3} + 1} \right) + 1}$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:858251

Phương pháp giải

Đánh giá $\dfrac{a}{a^{3} + a + abc} \leq \dfrac{a}{a^{3} + a + 1}$ và $\left. {(x - 1)}^{2}\left( {x + 1} \right) \geq 0\Leftrightarrow x^{3} - x^{2} - x + 1 \geq 0 \right.$

Đưa bài toán về $\dfrac{1}{a + 2} + \dfrac{1}{b + 2} + \dfrac{1}{c + 2} \leq 1$ và chứng minh bằng bất đẳng thức Côsi

Giải chi tiết

$P = \dfrac{a}{a^{3} + a + abc} + \dfrac{b}{b^{3} + b + abc} + \dfrac{c}{abc\left( {c^{3} + 1} \right) + c}$ $\leq \dfrac{a}{a^{3} + a + 1} + \dfrac{b}{b^{3} + b + 1} + \dfrac{c}{c^{3} + c + 1}$

$\forall x > 0$, ta luôn có $\left. {(x - 1)}^{2}\left( {x + 1} \right) \geq 0\Leftrightarrow x^{3} - x^{2} - x + 1 \geq 0 \right.$

$\left. \Leftrightarrow x^{3} + x + 1 \geq x^{2} + 2x\Leftrightarrow\dfrac{x}{x^{3} + x + 1} \leq \dfrac{1}{x + 2} \right.$, đẳng thức xảy ra khi $x = 1$.

Suy ra $\dfrac{a}{a^{3} + a + 1} + \dfrac{b}{b^{3} + b + 1} + \dfrac{c}{c^{3} + c + 1} \leq \dfrac{1}{a + 2} + \dfrac{1}{b + 2} + \dfrac{1}{c + 2}$

Ta sẽ chứng minh $\dfrac{1}{a + 2} + \dfrac{1}{b + 2} + \dfrac{1}{c + 2} \leq 1$ (6)

Thật vậy, $\left. (6)\Leftrightarrow\left( {a + 2} \right)\left( {b + 2} \right) + \left( {b + 2} \right)\left( {c + 2} \right) + \left( {a + 2} \right)\left( {c + 2} \right) \leq \left( {a + 2} \right)\left( {b + 2} \right)\left( {c + 2} \right) \right.$

$\left. \Leftrightarrow ab + bc + ca + abc \geq 4 \right.$

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có $ab + bc + ac \geq 3\sqrt[3]{ab.bc.ca} = 3$

Mặt khác $\left. abc \geq 1\Rightarrow ab + bc + ca + abc \geq 4 \right.$ nên (6) đúng, suy ra $P \leq 1$.

Vậy $\text{max}P = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$ khi $a = b = c = 1$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link