Cho hai số thực $x,y$ thỏa mãn $0 < x < y \leq 13$ và $2xy \leq 13x + 9y$. Chứng minh rằng $x^{2} +

Câu hỏi số 858671:

Vận dụng

Cho hai số thực $x,y$ thỏa mãn $0 < x < y \leq 13$ và $2xy \leq 13x + 9y$. Chứng minh rằng $x^{2} + y^{2} \leq 250$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:858671

Phương pháp giải

Sử dụng khi triển Abel $250 = \dfrac{169}{y^{2}}.y^{2} + \dfrac{81}{x^{2}}.x^{2} = \left( {y^{2} - x^{2}} \right).\dfrac{169}{y^{2}} + x^{2}\left( {\dfrac{169}{y^{2}} + \dfrac{81}{x^{2}}} \right)$ $\geq x^{2} + y^{2}$

Giải chi tiết

Sử dụng khi triển Abel ta có:

$\begin{array}{l} {250 = \dfrac{169}{y^{2}}.y^{2} + \dfrac{81}{x^{2}}.x^{2} = \left( {y^{2} - x^{2}} \right).\dfrac{169}{y^{2}} + x^{2}\left( {\dfrac{169}{y^{2}} + \dfrac{81}{x^{2}}} \right)} \\ {\geq y^{2} - x^{2} + x^{2} \cdot \dfrac{169x^{2} + 81y^{2}}{x^{2}y^{2}}} \\ {\geq y^{2} - x^{2} + \dfrac{{(13x + 9y)}^{2}}{2y^{2}}} \\ {\geq y^{2} - x^{2} + \dfrac{{(2xy)}^{2}}{2y^{2}} = x^{2} + y^{2}} \end{array}$

Do $13 \geq y > x > 0,2xy \leq 13x + 9y$.

Vậy $250 \geq x^{2} + y^{2}$.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $y = 13,x = 9$.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link