Cho hình lăng trụ $ABC \cdot A'B'C'$ có $A'A = A'B = A'C$, cạnh bên $AA' = 4$, đáy ABC là tam giác đều.

Câu hỏi số 858929:

Thông hiểu

Cho hình lăng trụ $ABC \cdot A'B'C'$ có $A'A = A'B = A'C$, cạnh bên $AA' = 4$, đáy ABC là tam giác đều. Biết mặt phẳng $\left( {BCC'B'} \right)$ tạo với mặt phẳng $(ABC)$ một góc $60^{{^\circ}}$. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:858929

Phương pháp giải

Hình chiếu của A' lên mặt phẳng đáy $(ABC)$ là tâm G của tam giác đều ABC.

Xác định góc giữa hai mặt phẳng $(BCC'B')$ và $(ABC)$.

Tính chiều cao $h = A'G$ và diện tích đáy $S_{ABC}$ .

Công thức tính thể tích lăng trụ $V = S_{d} \cdot h$.

Giải chi tiết

Gọi G là trọng tâm tam giác đều ABC.

Có $A'A = A'B = A'C$ nên $\left. A'G\bot(ABC)\Rightarrow \right.$ A'G là chiều cao của khối lăng trụ.

Gọi M là trung điểm của BC.

Ta có $BC\bot AM$, $BC\bot A'G$ $\left. \Rightarrow BC\bot(A'AM) \right.$.

Mặt phẳng $(BCC'B')$ là mặt phẳng đi qua BC và song song với AA'. Vì $AA' \subset (A'AM)$ nên $AA'\bot BC$.

Trong mặt phẳng $(BCC'B')$, mọi đường thẳng vuông góc với giao tuyến BC đều song song với cạnh bên AA'.

Do đó $\left( {(BCC'B'),(ABC)} \right) = \left( {AA',AM} \right) = \angle A'AM = 60^{o}$ hay $\angle A'AG = 60^{o}$.

Xét tam giác A'AG vuông tại G, ta có:

$AG = AA'.\cos 60^{o} = 4.\dfrac{1}{2} = 2$.

$A'G = AA' \cdot \sin 60^{o} = 4.\dfrac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$.

Gọi a là độ dài cạnh của tam giác đều ABC.

Ta có $AG = \dfrac{2}{3}AM = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{a\sqrt{3}}{2} = \dfrac{a\sqrt{3}}{3} = 2$$\left. \Rightarrow a\sqrt{3} = 6\Rightarrow a = 2\sqrt{3} \right.$.

Diện tích đáy tam giác ABC là: $S_{ABC} = \dfrac{a^{2}\sqrt{3}}{4} = \dfrac{\left( {2\sqrt{3}} \right)^{2}\sqrt{3}}{4} = 3\sqrt{3}$.

Thể tích của khối lăng trụ là: $V = S_{ABC} \cdot A'G = 3\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 18$.

Đáp án cần điền là: 18

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.