Một loại gạch men có kích thước hình vuông $60 \times 60~\text{cm}$. Người ta thiết kế hoa

Câu hỏi số 860278:

Vận dụng

Một loại gạch men có kích thước hình vuông $60 \times 60~\text{cm}$. Người ta thiết kế hoa văn cho viên gạch bằng cách tạo đường tròn $\left( C_{1} \right)$ nội tiếp hình vuông ban đầu, phần nằm ngoài đường tròn $\left( C_{1} \right)$ mà thuộc viên gạch thì được tô màu đậm. Tiếp theo họ tạo ra một hình vuông nội tiếp đường tròn $\left( C_{1} \right)$, bên trong hình vuông này lại có một đường tròn nội tiếp $\left( C_{2} \right)$; và họ tiếp tục tô màu đậm cho phần nằm ngoài đường tròn $\left( C_{2} \right)$ mà thuộc hình vuông này. Quy luật này cứ thế tiếp tục vô hạn lần (thảm khảo hình vẽ). Hỏi tổng diện tích thuộc về viên gạch được tô màu đậm là bao nhiêu cm vuông? Kết quả được làm tròn đến hàng đơn vị của cm vuông.

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:860278

Phương pháp giải

Áp dụng công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.

Giải chi tiết

Độ dài cạnh hình vuông thứ nhất $60(~\text{cm})$

Diện tích phần tô đậm thứ nhất là $S_{1} = 60^{2} - \pi\left( \dfrac{x}{2} \right)^{2} = 60^{2}\left( {1 - \dfrac{\pi}{4}} \right)$.

Độ dài cạnh hình vuông thứ hai là $\dfrac{60}{\sqrt{2}}$.

Diện tích phần tô đậm thứ hai là $S_{2} = \left( \dfrac{60}{\sqrt{2}} \right)^{2} - \pi\left( \dfrac{60}{2\sqrt{2}} \right)^{2} = \dfrac{60^{2}}{2}\left( {1 - \dfrac{\pi}{4}} \right)$.

Tương tự, ta có diện tích phần tô đậm thứ $n$ là $S_{n} = \dfrac{60^{2}}{2^{n - 1}}\left( {1 - \dfrac{\pi}{4}} \right)$.

Tổng diện tích thuộc về viên gạch được tô đậm là $S = S_{1} + S_{2} + \ldots + S_{n} + \ldots$

Ta thấy S là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với $u_{1} = S_{1} = 60^{2}\left( {1 - \dfrac{\pi}{4}} \right)$, công bội $q = \dfrac{1}{2}$.

Suy ra $S = \dfrac{u_{1}}{1 - q} = 60^{2}\left( {1 - \dfrac{\pi}{4}} \right) \div \left( {1 - \dfrac{1}{2}} \right) \approx 1545\left( {~\text{cm}^{2}} \right)$

Đáp án cần điền là: 1545

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.